Question

如圖，Rt△ABC內接于⊙O，AC=BC，點D是劣弧BC的中點，AD與BC交于點E，延長BD與AC的延長線交于點F，連接CD，G是CD的中點．
（1）連接OG．判斷OG與CD的位置關系，寫出你的結論并證明；
（2）求證：AE=BF；
（3）若AE=6，求弦CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC、OD．利用等腰三角形的“三線合一”的性質來判定OG⊥CD；
（2）根據圓周角定理推知：∠ACB=90°、∠CAE=∠CBF；然后通過全等三角形的判定定理ASA來證明Rt△ACE≌Rt△BCF，由全等三角形的對應邊相等知AE=BF．
（3）根據∠ADB=90°，可知AD⊥BF，可得，又知=，從而得到∠FAD=∠BAD，可知∠F=∠FBA，求出DB=3，即CD=3．
解答：解：（1）猜想：OG⊥CD．
證明：如圖，連接OC、OD．
∵OC=OD，G是CD的中點，
∴由等腰三角形的性質，有OG⊥CD．（3分）

（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．
而∠CAE=∠CBF（同弧所對的圓周角相等）．
在Rt△ACE和Rt△BCF中，
∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，
∴△ACE≌△BCF（ASA）∴AE=BF．（12分）

（3）∵∠ADB=90°，可知AD⊥BF，
∵=，
∴∠FAD=∠BAD，
∴∠F=∠FBA，
∴CD=BD=BF=×6=3．
點評：本題綜合考查了等腰三角形的性質、圓周角定理、全等三角形的判定與性質．在圓中，常見的輔助線之一：構造直徑所對的圓周角．