Question

【題目】如圖，已知點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在拋物線y=ax2+bx+c上．

（1）求拋物線解析式；

（2）在直線BC上方的拋物線上求一點P，使△PBC面積為1；

（3）在x軸下方且在拋物線對稱軸上，是否存在一點Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+x+1；（2）點P的坐標為（1，）或（2，1）；（3）存在，理由見解析．

【解析】

（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），將C（0，1）代入求得a的值即可；

（2）過點P作PD⊥x，交BC與點D，先求得直線BC的解析式為y=﹣x+1，設點P（x，﹣x2+x+1），則D（x，﹣ x+1），然后可得到PD與x之間的關系式，接下來，依據△PBC的面積為1列方程求解即可；

（3）首先依據點A和點C的坐標可得到∠BQC=∠BAC=45°，設△ABC外接圓圓心為M，則∠CMB=90°，設⊙M的半徑為x，則Rt△CMB中，依據勾股定理可求得⊙M的半徑，然后依據外心的性質可得到點M為直線y=﹣x與x=1的交點，從而可求得點M的坐標，然后由點M的坐標以及⊙M的半徑可得到點Q的坐標．

（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），將C（0，1）代入得﹣3a=1，解得：a=﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+1；

（2）過點P作PD⊥x，交BC與點D，

設直線BC的解析式為y=kx+b，則，解得：k=﹣，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+1，

設點P（x，﹣ x2+x+1），則D（x，﹣ x+1），

∴PD=（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）=﹣x2+x，

∴S△PBC=OBDP=×3×（﹣x2+x）=﹣x2+x，

又∵S△PBC=1，

∴﹣x2+x=1，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，

∴點P的坐標為（1，）或（2，1）；

（3）存在．

∵A（﹣1，0），C（0，1），

∴OC=OA=1，

∴∠BAC=45°，

∵∠BQC=∠BAC=45°，

∴點Q為△ABC外接圓與拋物線對稱軸在x軸下方的交點，

設△ABC外接圓圓心為M，則∠CMB=90°，

設⊙M的半徑為x，則Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，

解得：x=（負值已舍去），

∵AC的垂直平分線的為直線y=﹣x，AB的垂直平分線為直線x=1，

∴點M為直線y=﹣x與x=1的交點，即M（1，﹣1），

∴Q的坐標為（1，﹣1﹣）．