Question

已知：k是正整數，直線l₁：y=kx+k-1與直線l₂：y=（k+1）x+k及x軸圍成的三角形的面積為S_k．
（1）求證：無論k取何值，直線l₁與l₂的交點均為定點；
（2）求S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₈的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意列出方程組，解出x，y的值，即可證出無論k取何值，直線l₁與l₂的交點均為定點．
（2）先求出y=kx+k-1與x軸的交點和y=（k+1）x+k與x軸的交點坐標，再根據三角形面積公式求出S_k，求出S₁=

1

2

×（1-

1

2

），S₂=

1

2

×（

1

2

-

1

3

），以此類推S₂₀₀₈=

1

2

×（

1

2008

-

1

2009

），相加后得到

1

2

×（1-

1

2009

），求出即可．

解答：（1）證明：

y=kx+k-1 y=(k+1)x+k

解得：

x=-1 y=-1

．
∴無論k取何值，直線l₁與l₂的交點均為定點（-1，-1）．

（2）解：k≠1時l₁與l_{2^{圖象的示意圖．}}
∵y=kx+k-1與x軸的交點為A（

1-k

k

，0），
y=（k+1）x+k與x軸的交點為B（-

k

k+1

，0），
∴S_K=S_△ABC=

1

2

×AB×

.

y c

.

=

1

2

×

.

1-k k + k k+1

.

×1=

1

2k(k+1)

k=1時結論同樣成立．
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₈的
=

1

2

[

1

1×2

+

1

2×3

+…

1

2008×2009

]
=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2008

-

1

2009

）]
=

1

2

×（1-

1

2009

）
=

1

2

×

2008

2009

=

1004

2009

．

點評：此題考查了一次函數的綜合題；解題的關鍵是一次函數的圖象與兩坐標軸的交點坐標特點，與x軸的交點的縱坐標為0，與y軸的交點的橫坐標為0．