Question

已知：如圖①,在Rt△ACB中,∠C＝90º,AC＝6cm,BC＝8cm,點P由B出發沿BC方向向點C勻速運動,速度為2cm/s；點Q由A出發沿AB方向向點B勻速運動,速度為1cm/s；連接PQ．若設運動的時間為t(s)（0＜t＜4）,解答下列問題：

（1）當t為何值時,PQ的垂直平分線經過點B？
（2）如圖②,連接CQ．設△PQC的面積為y（cm²）,求y與t之間的函數關系式；

（3）如圖②,是否存在某一時刻t,使線段C Q恰好把四邊形ACPQ的面積分成1：2的兩部分？若存在,求出此時t的值；若不存在,說明理由.

Answer 1

（1）當t=時,PQ的垂直平分線經過點B；
（2）；
（3）存在,當時,線段C Q恰好把四邊形ACPQ的面積分成1：2的兩部分．

解析試題分析：（1）用含有t的代數式表示PB和BQ,再根據線段垂直平分線上的點到線段兩段點的距離相等即可；
（2）先證△BQH∽△BAC,再根據相似三角形的對應邊成比例即可；
（3）分兩種情況討論：當S_△AQC=2S_△PQC時和當2S_△AQC =S_△PQC時,分別求出t的值．
試題解析：（1）在Rt△ABC中,AB=．
∵PQ的垂直平分線經過點B
∴PB=BQ
∵PB=2t,PQ=10-t,
∴2t=10-t
解得：t=
即：當t=時,PQ的垂直平分線經過點B;
(2) 如圖①過點Q作QH⊥BC于H．

∵∠C=90°,
∴AC⊥BC,
∴QH∥AC,
∴△BQH∽△BAC,
∴,
∴,
∴,
∴．
（3）存在
如圖②過點Q作QM⊥BC于M,QN⊥AC于N,

∵QM⊥BC于M,∠ACB=90°,
∴QM∥AC,
∴△BQM∽△BAC,
∴,
∴,
∴,
∵QN⊥AC于N,∠ACB=90°,
∴QN∥BC,
∴△AQN∽△ABC,
∴,
∴,
∴,
∵線段CQ恰好把四邊形ACPQ的面積分成1：2的兩部分,
∴S_△AQC=2S_△PQC或2S_△AQC =S_△PQC
當S_△AQC=2S_△PQC時,


∴
當2S_△AQC =S_△PQC時,


∴
綜上可知：當時,線段C Q恰好把四邊形ACPQ的面積分成1：2的兩部分.
考點：三角形綜合．