Question

如圖，在直角坐標系xOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角頂點A，C始終在x軸的正半軸上，B，D在第一象限內，點B在直線OD上方，OC=CD，OD=2，M為OD的中點，AB與OD相交于E，當點B位置變化時，Rt△OAB的面積恒為。

試解決下列問題：
（1）填空：點D坐標為____；
（2）設點B橫坐標為t，請把BD長表示成關于t的函數關系式，并化簡；
（3）等式BO=BD能否成立？為什么？
（4）設CM與AB相交于F，當△BDE為直角三角形時，判斷四邊形BDCF的形狀，并證明你的結論。

Answer 1

解：（1）； （2）由Rt△OAB的面積為，得B（t，）， ∵BD2=AC2+（AB-CD）2， = ∴②； （3）若OB=BD，則OB2=BD2， 在Rt△OAB中，OB2=OA2+AB2=， 由①得，得， ∴， ∵， ∴此方程無解， ∴OB≠BD； （4）如果，①當∠EBD=90°時，此時F，E，M三點重合，如右上圖 ∵BF⊥x軸，DC⊥x軸， ∴BF∥DC， ∴此時四邊形BDCF為直角梯形； ②當∠EDB=90°時，如右下圖 ∵CF⊥OD，∴BD∥CF， 又AB⊥x軸，DC⊥x軸， ∴BF∥DC， ∴此時四邊形BDCF為平行四邊形； 下證平行四邊形BDCF為菱形： 在Rt△BDO中，OB2=OD2+BD2， ∴， ∴， ， ∵BD在OD上方，解得， 或，（舍去），得 此時BD=CD=， ∴此時四邊形BDCF為菱形。