Question

【題目】如圖，已知直線l分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線y= （a≠0，x＞0）分別交于D、E兩點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，4）：
①分別求出直線l與雙曲線的解析式；
②若將直線l向下平移m（m＞0）個(gè)單位，當(dāng)m為何值時(shí)，直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)？
（2）假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），點(diǎn)D為線段AB的n等分點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出b的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①把D（4，1）代入y= 得a=1×4=4，

所以反比例函數(shù)解析式為y= （x＞0）；

設(shè)直線l的解析式為y=kx+t，

把D（4，1），E（1，4）代入得 ，

解得 ．

所以直線l的解析式為y=﹣x+5；

②直線l向下平移m（m＞0）個(gè)單位得到y(tǒng)=﹣x+5﹣m，

當(dāng)方程組 只有一組解時(shí)，直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

化為關(guān)于x的方程得x2+（m﹣5）x+4=0，

△=（m﹣5）2﹣4×4=0，解得m1=1，m2=9，

而m=9時(shí)，解得x=﹣2，故舍去，

所以當(dāng)m=1時(shí)，直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)

（2）

解：作DF⊥x軸，如圖，

∵點(diǎn)D為線段AB的n等分點(diǎn)，

∴DA：AB=1：n，

∵DF∥OB，

∴△ADF∽△ABO，

∴ ，即 ，

∴AF= ，DF= ，

∴OF=a﹣ ，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（a﹣ ， ），

把D（a﹣ ， ）代入y= 得（a﹣ ） =a，

解得b= ．

【解析】（1）①運(yùn)用待定系數(shù)法可分別得到直線l與雙曲線的解析式；
②直線l向下平移m（m＞0）個(gè)單位得到y(tǒng)=﹣x=5﹣m，根據(jù)題意得方程組 只有一組解時(shí)，化為關(guān)于x的方程得x2+（m﹣5）x+4=0，則△=（m﹣5）2﹣4×4=0，解得m1=1，m2=9，當(dāng)m=9時(shí)，公共點(diǎn)不在第一象限，所以m=1；（2）作DF⊥x軸，由DF∥OB得到△ADF∽△ABO，根據(jù)相似比可得到AF= ，DF= ，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（a﹣ ， ），然后把D點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中即可得到b的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．有兩條對(duì)稱軸：直線y=x和 y=-x．對(duì)稱中心是：原點(diǎn)；性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； 當(dāng)k＜0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．