Question

【題目】對于給定的兩個函數，任取自變量x的一個值，當x＜1時，它們對應的函數值互為相反數：當x≥1時，它們對應的函數值相等，我們稱這樣的兩個函數互為相關函數，例如：一次函數y＝x﹣4，它的相關函數為

（1）一次函數y＝﹣x+5的相關函數為　 　．

（2）已知點A（b﹣1，4），點B坐標（b+3，4），函數y＝3x﹣2的相關函數與線段AB有且只有一個交點，求b的取值范圍；

（3）當b+1≤x≤b+2時，函數y＝﹣3x+b2的相關函數的最小值為﹣3，求b的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）＜b≤3或﹣≤b＜﹣1；（3）b=或b=或b=．

【解析】

（1）根據相關函數的定義可解答；

（2）根據圖1和圖2所示，分A和B兩個點分別是邊界C和D時兩種情況，列不等式組可解答；

（3）先求出相關函數，然后根據一次函數的增減性解答即可．

（1）由題意得：一次函數y=﹣x+5的相關函數為y．

故答案為：y；

（2）函數y=3x﹣2的相關函數是y，如圖1和2所示：

﹣3x+2=4，x，3x﹣2=4，x=2．

∵點A（b﹣1，4），點B坐標（b+3，4），∴AB=4，AB∥x軸．

∵函數y=3x﹣2的相關函數與線段AB有且只有一個交點，且CD=24，∴或，解得：b≤3或b＜﹣1；

（3）函數y=﹣3x+b2的相關函數為y．分兩種情況討論：

①當x＜1時，y=3x-b2，k=3＞0，y隨x增大而增大．

∵b+1≤x≤b+2，∴當x=b+1時，ymin=3（b+1）-b2=-3，∴b2-3b-6=0，解得：b=或b=．當b=時，x=b+1＞1，與x＜1矛盾，舍去．當b=時，x=b+1＜1，∴b=．

②當x≥1時，y=-3x+b2，k=-3＜0，y隨x增大而減小．

∵b+1≤x≤b+2，∴當x=b+2時，ymin=-3（b+2）+b2=-3，∴b2-3b-3=0，解得：b=或b=．

當b=時，x=b+2＞1，成立．當b=時，x=b+2＞1，成立，∴b=或b=．

綜上所述：b=或b=或b=．