Question

【題目】已知拋物線，其中．

(1)求證：為任意非零實(shí)數(shù)時，拋物線與軸總有兩個不同的交點(diǎn)；

(2)求拋物線與軸的兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；

(3)將拋物線沿軸正方向平移一個單位長度得到拋物線，則無論取任何非零實(shí)數(shù)，都經(jīng)過同一個定點(diǎn)，直接寫出這個定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)，；(3).

【解析】

(1)令y=0，利用根的判別式證明即可；

(2) 令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3) 根據(jù)平移的規(guī)律得出C2的解析式y=mx2+x，求出拋物線與y軸的交點(diǎn)即可.

解：(1)證明：令y=0，則=0，

△=b2-4ac=(2m+1)2-4m(m+1)=4m2+4m+1-4m2-4m=1>0，

∴為任意非零實(shí)數(shù)時，拋物線與軸總有兩個不同的交點(diǎn)；

(2) 令y=0，則=0，

這里a=m，b=2m+1，c=m+1，

∵△=b2-4ac=(2m+1)2-4m(m+1)=4m2+4m+1-4m2-4m=1，

∴,

解得：x1=，x2=-1，

∴拋物線與軸的兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)是，．

∵將拋物線沿軸正方向平移一個單位長度得到拋物線，且拋物線，

∴，

∴無論取任何非零實(shí)數(shù)，都經(jīng)過同一個定點(diǎn)，

答：無論取任何非零實(shí)數(shù)，都經(jīng)過同一個定點(diǎn)，這個定點(diǎn)的坐標(biāo)是．

故答案為：(1)證明見解析；(2)，；(3).