Question

如圖1，菱形ABOC的對角線OA、BC交于點D，∠BOC=60°，OA=2

3

，E為AC邊中點，BE與OA交于點F，點P從點O（包含頂點O）開始沿OA方向以每秒2

3

個單位長度的速度運動，同時，點Q從點C（包含頂點C）出發沿CB方向以每秒1個單位長度的速度運動，當P到達點A時，P，Q同時停止運動，設運動時間為x秒．
（1）若記以P、B、E、Q為頂點的四邊形面積為S，分別求出點P在線段OD（不含點D）和在線段AF（不含點F）上時，S關于x的函數關系式，并寫出相應的自變量x的取值范圍．
（2）若以P、B、E、Q為頂點的四邊形是梯形，求x的值．
（3）如圖2，若點M、N分別在菱形的邊OC、AC上，且∠MBN=60°，∠MBN在∠OBA內部繞著點B旋轉的過程中，請你探究OM+AN的值是否發生變化？若不變，求出其值；若發生變化，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據運動時間為x秒，以及P點運動速度，即可得出x的取值范圍，再利用P點位置的不同，求出S與x的函數關系式；
（2）根據當PQ∥BE時，以及當EQ∥BP時，當PE∥BQ時，分別利用相似三角形的性質求出即可；
（3）由∠BOC=60°，ABOC是菱形得，△BOC和△ABC是等邊三角形，進而求出△OBM≌△CBN，得出答案即可．

解答：解：（1）當點P在OD上時，如圖1，x的取值范圍為：0≤x＜

1

2

，
過點E作EH⊥BC，則，S=S△PBQ+S△EBQ=

1

2

BQ•PD+

1

2

BQ•EH，
由OA=2

3

，∠BOC=60°，
四邊形OBAC是菱形得AC=BC=2，OD=

3

，∠ACD=60°，
在Rt△ECH中，sin∠ECH=

EH

EC

，
∴

3

2

=

EH

1

，
∴EH=

3

2

，
從而有：
 S=

1

2

×(2-x)×(

3

-2

3

x)+

1

2

×(2-x)×

3

2

=

3

x2-

11

4

3

x+

3

2

3

，
當點P在AF上時，如圖2，x的取值范圍為

2

3

＜x≤1，過點E作EH⊥BC，過點E作EG⊥AD，
則S=S_△ABC-S_△QEC-S_△EPA-S_△BPA，
在Rt△EAG中，sin∠EAG=

EG

EA

，
∴sin30°=

EG

1

，從而有EG=

1

2

，
∴S=

1

2

×2×

3

-

1

2

×x×

3

2

-

1

2

×(2

3

-2

3

x)×

1

2

-

1

2

×(2

3

-2

3

x)×1，
=

5 3

4

x-

3

2

，
綜上，S=

3 x2- 11 3 4 x+ 3 3 2 (0≤x＜ 1 2 ) 5 3 4 x- 3 2 ( 2 3 ＜x≤1)

；

（2）能成為梯形，分三種情況：
當PQ∥BE時，如圖3，∵菱形ABOC的對角線OA、BC交于點D，∠BOC=60°，
∴△OBC與△ABC都是等邊三角形，
∵E為AC邊中點，
∴BE平分∠ABC，
∴∠DBE=30°，
∵PQ∥BE，
∴∠PQD=∠DBE=30°，
∴

DP

DQ

=tan30°=

3

3

，
即

3 -2 3 x

1-x

=

3

3

，
∴x=

2

5

，
此時PB不平行QE，∴x=

2

5

時，四邊形PBEQ為梯形．
當PE∥BQ時，如圖4，P為DA中點，∴OP=

3 3

2

，
即2

3

x=

3 3

2

，
∴x=

3

4

，
此時，BQ=2-x≠

5

4

，
∴x=

3

4

時，四邊形PEQB為梯形．
當EQ∥BP時，如圖5，△QEH∽△BPD，
∴

HE

DP

=

QH

BD

，
∴

3 2

2 3 x- 3

=

x- 1 2

1

，
∴x=1或x=0，
此時，BQ不平行于PE，∴x=1或x=0時，四邊形PEQB為梯形．
綜上所述，當x=

2

5

或

3

4

或1或0時，以P，B，E，Q為頂點的四邊形是梯形．

（3）OM+AN的值不會發生變化，理由如下：連接BC，
如圖6，由∠BOC=60°，ABOC是菱形得，
△BOC和△ABC是等邊三角形，
∴BC=BO，∠OBC=60°，∠BOM=∠BCN=60°，
又∵∠MBN=60°，∴∠OBM=∠CBN，
∴△OBM≌△CBN，
∴OM=CN
∴OM+AN=CN+AN=AC=2．

點評：此題主要考查了二次函數與相似三角形以及梯形的綜合應用，根據當PQ∥BE時，以及當EQ∥BP時，當PE∥BQ進行分類討論是解題關鍵．