Question

已知二次函數y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于B（-2，0），C（4，0）兩點，點E是對稱軸l與x的交點．
（1）求二次函數的解析表達式；
（2）T為對稱軸l上一動點，以點B為圓心，BT為半徑作⊙B，寫出直線CT與⊙B相切時，T點的坐標；
（3）若在x軸上方的P點為拋物線上的動點，且∠BPC為銳角，直接寫出PE的取值范圍；
（4）對于（1）中得到的關系式，若x為整數，在使得y為完全平方數的所有x的值中，設x的最大值為m，最小值為n，次小值為s，求m、n、s的值．（注：一個數如果是另一個整數的完全平方，那么就稱這個數為完全平方數．）

Answer 1

分析：（1）將B、C坐標代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可確定該拋物線的解析式．
（2）若⊙B與直線CT相切，那么BT⊥CT，易得拋物線的對稱軸方程，可設出點T的縱坐標，利用直線BT、直線CT的垂直，即斜率的乘積為-1，即可列出關于T點縱坐標的方法，求得點T的坐標．
（3）此題應該結合圓周角定理來理解，以E為圓心，BC為半徑作圓，交拋物線于M、N兩點，那么∠BMC=∠BNC=90°，若∠BEC是銳角，那么點E必在M、N之間的函數圖象上，當P位于M或N得位置時，PE=3，當P位于拋物線的頂點時，PE的值為拋物線頂點縱坐標，由此可求得PE的取值范圍．
（4）將（1）題所得拋物線解析式化為關于x的一元二次方程，由于方程有整數解，那么根的判別式大于0，可據此求得y的取值范圍，由于y是一個完全平方數，進而可求得y的值，再將其值代入方程中即可求得x的值，從而確定m、n、s的值．（也可通過觀察函數圖象來確定y的值）

解答：解：（1）由于拋物線的圖象經過B（-2，0），C（4，0）兩點，則有：

-4-2b+c=0 -16+4b+c=0

，
解得

b=2 c=8

；
故拋物線的解析式為：y=-x²+2x+8．（4分）

（2）易知拋物線的對稱軸為：x=1；
設點T（1，m），
則直線BT的斜率：k₁=

m

1+2

，直線CT的斜率：k₂=

m

1-4

；
若⊙B與CT相切，則有：

m

1+2

×

m

1-4

=-1，
解得m=±3；
故T（1，3）或（1，-3）．（2分）

（3）以E為圓心，BC長為直徑作圓，交拋物線于M、N兩點；
由圓周角定理知：∠BMC=∠BNC=90°，
此時ME=NE=

1

2

BC=3；
若∠BPC是銳角，那么點P必在M、N之間的拋物線圖象上，故PE＞3；
易知拋物線的頂點坐標為：（1，9），
當點P運動到拋物線的頂點位置時，PE的長最大，且此時PE=9；
綜上可知，PE的取值范圍為：3＜PE≤9．（2分）

（4）法一：由y=-x²+2x+8，故關于x的一元二次方程x²-2x+（y-8）=0有整數解，
因此△_x=4-4（y-8）=-4y+36是完全平方數，且△_x=-4y+36≥0，
則y≤9，又y是一個完全平方數，
所以，y只能為0，1，4，9；（1分）
分別代入方程x²-2x+（y-8）=0，又x為整數，
解得

x=4 y=0

，

x=-2 y=0

，

x=1 y=9

，
因此m=4、n=-2、s=1．（1分）
法二：由圖象不難看出0≤y≤9，又y是一個完全平方數，
所以y只能為0，1，4，9，（1分）
分別代入關系式y=-x²+2x+8，又x為整數，
解得

x=4 y=0

，

x=-2 y=0

，

x=1 y=9

，
因此m=4、n=-2、s=1．（1分）

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、切線的性質、圓周角定理、直角三角形的性質、根的判別式等重要知識；涉及的知識點較多，綜合性強，難度較大．