Question

如圖所示，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，AF為角平分線，AF交BC于F，交CD于E，過E作EG∥AB，與BC交于G，過F向AB作垂線，垂足為H．
求證：（1）CF=BG；
（2）四邊形CEHF是菱形．

Answer 1

解：（1）由AF平分∠CAB，CD⊥AB，FH⊥AB，可推出∠CFE=∠CEF，從而證得CF=CE．
由FH⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠BAC，可得CF=FH，
∴CE=FH，
又∵EG∥AB，
∴∠CGE=∠B，∠CEG=∠FHB．可推得△GEC≌△BHF．
推出CG=FB．
∴CF=BG．

（2）由（1）證明可知CEFH．
∴CFHE為平行四邊形，
又∵CF=FH，
∴CFHE是菱形．
分析：（1）由題中條件可得△GEC≌△BHF，即CG=BF，進而可求解CF=BG
（2）由題意可得其為平行四邊形，由（1）得CF=FH，在平行四邊形的基礎上，一組鄰邊相等，所以是菱形．
點評：掌握全等三角形的性質及判定，能夠熟練運用菱形的性質，掌握菱形的判定．