Question

（2013•閘北區一模）已知：如圖，二次函數y=

2

3

x2-

4

3

x-

16

3

的圖象與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），拋物線的頂點為Q，直線QB與y軸交于點E．
（1）求點E的坐標；
（2）在x軸上方找一點C，使以點C、O、B為頂點的三角形與△BOE相似，請直接寫出點C的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數解析式求得點B的坐標；設直線BQ：y=kx+b（k≠0）．則把B、Q的坐標代入該解析式列出關于系數k、b的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；最后令x=0，則y=-8，即E（0，-8）；
（2）需要分類討論：①如圖1，若∠COB=∠EOB=90°；②如圖1，若∠CBO=∠EOB=90°；③如圖2，若∠OCB=∠BOE=90°．由相似三角形的對應邊成比例求得相關線段的長度．

解答：解：（1）令y=0，得

2

3

x2-

4

3

x-

16

3

=0，
解方程，得
x₁=-2，x₂=4，
∵點A在點B的左側，
∴B（4，0）
又y=

2

3

(x-1)2-6，
∴Q（1，-6）．
設直線BQ：y=kx+b（k≠0）．則把B、Q的坐標代入，得

4k+b=0 k+b=-6

解得

k=2 b=-8

，
∴直線BQ的解析式是：y=2x-8，
∴E（0，-8）；

（2）由（1）知，B（4，0），E（0，-8），則OE=8，OB=4．
①如圖1，若∠COB=∠EOB=90°．
當△BOC∽△BOE時，

BO

BO

=

OC

OE

=1，即OC=OE=8，則C₁（0，8）；
當△COB∽△BOE時，

BO

EO

=

CO

BO

，即

4

8

=

CO

4

，則CO=2，故C₂（0，2）；
②如圖1，若∠CBO=∠EOB=90°．
當△CBO∽△BOE時，

CB

BO

=

BO

OE

，即

CB

4

=

4

8

，解得，CB=2，故C₃（4，2）；
當△OBC∽△BOE時，

OB

BO

=

BC

OE

=1，即BC=OE=8，故C₄（4，8）；
③如圖2，若∠OCB=∠BOE=90°，設C（x，y）．
△OCB∽△BOE時，

OC

BO

=

CB

OE

，即

OC

4

=

CB

8

，或

OC

CB

=

1

2

  ①．
∵直角△BOC中，根據勾股定理知OC²+BC²=OB²=16，②
∴由①②得，OC=

4 5

5

，BC=

8 5

5

OC•BC=

32

5

．
∵

1

2

OB•y=

1

2

OC•BC，
∴y=

8

5

，
∴x=

4

5

，即C₅（

4

5

，

8

5

）．
同理，當△BCO∽△BOE時，C₆（

16

5

，

8

5

）．
綜上所述，符合條件的點C的坐標是：
C₁（0，8），C₂（0，2），C₃（4，2），C₄（4，8），C₅（

4

5

，

8

5

），C₆（

16

5

，

8

5

）．

點評：本題考查了待定系數法求一次函數解析式，相似三角形的判定與性質以及二次函數的綜合題．解答（2）題時，要分類討論，以防漏解．