Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，點P、Q為AB邊及BC邊上的兩個動點。（1）若點P從點A沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，兩個點同時出發。
①經過幾秒，△PBQ的面積等于8cm²；
②是否存在這樣的時刻，使△PBQ的面積等于10 cm²？如果存在請求出來，如果不存在，請說明理由。
（2）假設點P、Q可以分別在AB、BC邊上任意移動，是否存在PQ同時平分△ABC的周長和面積的情況？如果存在請求出BP的長度；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）2秒或4秒；（2）不存在，理由見解析；（3）不存在，理由見解析.

試題分析：（1）設出運動所求的時間，可將BP和BQ的長表示出來，代入三角形面積公式，列出等式，可將時間求出；
（2）將△PBQ的面積表示出來，根據△=b²-4ac來判斷．
試題解析：（1）①設經過x秒，△PBQ的面積等于8cm2則：
BP=6-x，BQ=2x，
所以S_△PBQ=×（6-x）×2x=8，即x²-6x+8=0，
可得：x=2或4，
即經過2秒或4秒時，△PBQ的面積等于8cm²．
②設經過y秒，△PBQ的面積等于10cm2，S_△PBQ=×（6-y）×2y=10，
即y²-6y+10=0，
因為△=b²-4ac=36-4×10=-4＜0，所以△PBQ的面積不會等于10cm²．
（2）設經過y秒，線段PQ恰好平分△ABC的周長和面積，△PBQ的周長和面積等于12cm²，S△_PBQ=×（6-y）×2y=12，
即y²-6y+12=0，
因為△=b²-4ac=36-4×12=-12＜0，所以△PBQ的面積不會等于12cm²，則線段PQ不能平分△ABC的面積．