Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點(diǎn)，以O為圓心，OA為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若BD=5，DC=3，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)、證明過(guò)程見解析；(2)、6.

【解析】

試題分析：(1)、連接OD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠2=∠3，即OD∥AC，從而得出∠ODB=∠ACB=90°，即切線；(2)、過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，根據(jù)Rt△BDE的勾股定理得出BE=4，從而得出Rt△AED和Rt△ACD全等，設(shè)AC=AE=x，則AB=x+4，然后根據(jù)Rt△ABC的勾股定理得出x的值.

試題解析：(1)、連接OD；∵AD是∠BAC的平分線， ∴∠1=∠3．∵OA=OD，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3．

∴OD∥AC．∴∠ODB=∠ACB=90°． ∴OD⊥BC．∴BC是⊙O切線．

(2)、過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB， ∵AD是∠BAC的平分線， ∴CD=DE=3．

在Rt△BDE中，∠BED=90°， 由勾股定理得：，

在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED ≌ Rt△ACD

∴AC=AE，設(shè)AC=x，則AE=x，AB=x+4，在Rt△ABC中 ，

即，解得x=6，∴AC=6．