Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，頂點為M的拋物線y=ax2+bx（a＞0），經過點A和x軸正半軸上的點B，AO=OB=2，∠AOB=120°．

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）連接OM，求∠AOM的大小；

（3）如果點C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點C的坐標．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣x；(2) ∠AOM=150°；(3)點C的坐標為：（4，0）或（8，0）．

【解析】

試題分析：（1）根據AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A點坐標，以及B點坐標，進而利用待定系數法求二次函數解析式；（2）根據（1）中解析式求出M點坐標，再利用銳角三角函數關系求出∠FOM=30°，進而得出答案；（3）分別根據當△ABC1∽△AOM以及當△C2BA∽△AOM時，利用相似三角形的性質求出C點坐標即可．

試題解析：（1）過點A作AE⊥y軸于點E，

∵AO=OB=2，∠AOB=120°，

∴∠AOE=30°，

∴OE= ，AE=1，

∴A點坐標為：（﹣1，），B點坐標為：（2，0），

將兩點代入y=ax2+bx得：

，

解得： ，

∴拋物線的表達式為：y=x2﹣x；

（2）過點M作MF⊥OB于點F，

∵y=x2﹣x=（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1﹣1）=（x﹣1）2﹣，

∴M點坐標為：（1，﹣），

∴tan∠FOM= =，

∴∠FOM=30°，

∴∠AOM=30°+120°=150°；

（3）當點C在x軸負半軸上時，則∠BAC=150°，而∠ABC=30°，此時∠C=0°，故此種情況不存在；

當點C在x軸正半軸上時，

∵AO=OB=2，∠AOB=120°，

∴∠ABO=∠OAB=30°，

∴AB=2EO=2，

當△ABC1∽△AOM，

∴ ，

∵MO==，

∴ ，

解得：BC1=2，∴OC1=4，

∴C1的坐標為：（4，0）；

當△C2BA∽△AOM，

∴ ，

∴ ，

解得：BC2=6，∴OC2=8，

∴C2的坐標為：（8，0）．

綜上所述，△ABC與△AOM相似時，點C的坐標為：（4，0）或（8，0）．