Question

【題目】如圖，已知內接于⊙，直徑交于點，連接，過點作，垂足為．過點作⊙的切線，交的延長線于點．

(1)若，求的度數；

(2)若，求證：；

(3)在(2)的條件下，連接，設的面積為，的面積為，若，求的值

Answer 1

【答案】（1）50°；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）連接BD，如圖，利用切線性質和圓周角定理得到∠ADG=∠ABD=90°，再利用等角的余角相等得到∠ADB=∠G=50°，然后根據圓周角定理得到∠ACB的度數；

（2）連接CD，如圖，利用等腰三角形的性質得到∠ABE=∠AEB，∠ODC=∠OCD，再利用圓周角定理得到∠ABC=∠ADC，然后根據三角形內角和可判斷∠BAD=∠DOC；

（3）先證明△ABD∽△OFC得到,設則 則利用三角形面積公式得到則可設OF=4k，則OA=5k，利用勾股定理計算出CF，然后根據正切的定義求解．

（1）解：連接BD，如圖，

∵DG為切線，

∴AD⊥DG， ∴∠ADG=90°，

∵AD為直徑， ∴∠ABD=90°，

∠GDB+∠G=90°，∠ADB+∠GDB=90°，

∴∠ADB=∠G=50°，

∴∠ACB=∠ADB=50°；

（2）證明：連接CD，如圖，

∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB，

∵OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD，

而∠ABC=∠ADC， ∴∠ABE=∠AEB=∠ODC=∠OCD，

∴∠BAD=∠FOC；

（3）解：∵∠BAD=∠FOC，∠ABD=∠OFC，

∴△ABD∽△OFC，

∴，

∵

設 則

∴

∴

∵

∴設OF=4k，則OA=5k，

在Rt△OCF中，OC=5k， CF=

∴tan∠CAF=