Question

【題目】問題情境：如圖1，，，．求 度數(shù)．

小明的思路是：如圖2，過 作 ，通過平行線性質(zhì)，可得 ．

問題遷移：

（1）如圖3，，點 在射線 上運動，當點 在 、 兩點之間運動時，，． 、 、 之間有何數(shù)量關系?請說明理由；

（2）在（1）的條件下，如果點 在 、 兩點外側運動時（點 與點 、 、 三點不重合），請你直接寫出 、 、 間的數(shù)量關系．

Answer 1

【答案】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由見解析；（2）①當點P在A、M兩點之間時，∠CPD=∠β∠α；②當點P在B、O兩點之間時，∠CPD=∠α∠β

【解析】

（1）過點P作PE∥AD交CD于點E，根據(jù)題意得出AD∥PE∥BC，從而利用平行線性質(zhì)可知=∠DPE，=∠CPE，據(jù)此進一步證明即可；

（2）根據(jù)題意分當點P在A、M兩點之間時以及當點P在B、O兩點之間時兩種情況逐一分析討論即可.

（1）∠CPD=，理由如下：

如圖3，過點P作PE∥AD交CD于點E，

∵AD∥BC，PE∥AD，

∴AD∥PE∥BC，

∴=∠DPE，=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=；

（2）①當點P在A、M兩點之間時，∠CPD=，理由如下：

如圖4，過點P作PE∥AD交CD于點E，

∵AD∥BC，PE∥AD，

∴AD∥PE∥BC，

∴=∠EPD，=∠CPE，

∴∠CPD=∠CPE∠EPD=；

②當點P在B、O兩點之間時，∠CPD=，理由如下：

如圖5，過點P作PE∥AD交CD于點E，

∵AD∥BC，PE∥AD，

∴AD∥PE∥BC，

∴=∠DPE，=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE∠CPE=，

綜上所述，當點P在A、M兩點之間時，∠CPD=∠β∠α；當點P在B、O兩點之間時，∠CPD=∠α∠β.