Question

（2011•南岸區一模）為推進節能減排，深化“宜居重慶”的建設，我市某公司用480萬元引進“變頻調速技術”后，進一步投入資金1520萬元購買配套設備，以提高用電效率達到節約用電的目的．已知該公司生產“草甘磷”產品的每件成本費為40元，該產品的銷售單價定在100元到300元之間，當銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；當銷售單價超過100元，但不超過200元時，每件新產品的銷售價格在100元的基礎上，每增加10元，相應的年銷售量將減少0.8萬件；當銷售單價超過200元，但不超過300元時，每件新產品的銷售價格在200元的基礎上，每增加10元，相應的年銷售量將減少1萬件．設該公司生產該產品銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利為w（萬元）．（年獲利=年銷售額-生產成本-節電投資）
（1）請直接寫出y與x之間的函數關系式；
（2）求該公司節電投資后，第一年生產該產品的年獲利w與x間的函數關系式，并說明第一年是盈利還是虧損？若盈利，最大利潤是多少？若虧損，最少虧損是多少？
（3）若該公司節電投資后，第二年把該產品的銷售單價定在超過100元，但不超過200元的范圍內，且希望第二年的年盈利為1840萬元，請你參考以下數據，通過計算估算出第二年此情況下該產品銷售單價的整數值．（參考數據：

41

≈6.40，

43

≈6.56）

Answer 1

分析：（1）分段討論當100＜x≤200和當200＜x≤300的函數關系式，
（2）由年獲利=年銷售額-生產成本-節電投資分別列出當100＜x≤200和200＜x≤300的利潤關系式，求出最大利潤，
（3）依題意可知，當100＜x≤200時，寫出第二年w與x關系為式，由第二年的盈利為1840萬元，解得單價x．

解答：解：（1）這個顯然是一個分段函數，
y=20-

x-100

10

×0.8
=-0.08x+28，（100≤x＜200）
可見x=200元時，y=28-16=12（萬件）
y=12-

x-200

10

×1=-0.1x+32，（200≤x≤300）．

（2）投資成本為480+1520=2000萬元
y=-0.08x+28，100≤x＜200，
w=xy-40y-2000
=（x-40）（-0.08x+28）-2000
=-0.08x²+31.2x-3120
=-0.08（x-195）²-78
可見第一年在100≤x＜200注定虧損，x=195時虧損最少，為78萬元
200≤x≤300，y=-0.1x+32，
w=xy-40y-2000
=（x-40）（-0.1x+32）-2000
=-0.1x²+36x-3280
=-0.1（x-180）²-40
可見第一年在200≤x≤300注定虧損，x=200時虧損最少，為80萬元
綜上可見，x=195時虧損最少，為78萬元．

（3）根據第二年的盈利為1840萬元，第二年：100≤x≤200時，
第二年盈利=xy-40y=-0.08（x-195）²+1922=1840，
整理得出：0.08（x-195）²=82，
（x-195）²=1025，
x-195=±5

41

，
∴x₁=195+5

41

≈195+5×6.40=227（不合題意舍去）；
x₂=195-5

41

≈195-5×6.40=163元．
答：第二年此情況下該產品銷售單價為163元時，第二年的盈利為1840萬元．

點評：本題主要考查了二次函數在實際中應用，最大銷售利潤的問題常利函數的增減性來解答，我們首先要弄懂題意，確定變量，建立函數模型解答，其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值．