Question

（2013•菏澤）如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線，交BA的延長線于點D，取CD的中點E，AE的延長線與BC的延長線交于點P．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）OC=CP，AB=6，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）連接AO，AC（如圖）．欲證AP是⊙O的切線，只需證明OA⊥AP即可；
（2）利用（1）中切線的性質在Rt△OAP中利用邊角關系求得∠ACO=60°．然后在Rt△BAC、Rt△ACD中利用余弦三角函數的定義知AC=2

3

，CD=4．

解答：（1）證明：連接AO，AC（如圖）．
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=∠CAD=90°．
∵E是CD的中點，
∴CE=DE=AE．
∴∠ECA=∠EAC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CD是⊙O的切線，
∴CD⊥OC．
∴∠ECA+∠OCA=90°．
∴∠EAC+∠OAC=90°．
∴OA⊥AP．
∵A是⊙O上一點，
∴AP是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知OA⊥AP．
在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，
∴sinP=

OA

OP

=

1

2

，
∴∠P=30°．
∴∠AOP=60°．
∵OC=OA，
∴∠ACO=60°．
在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°，
∴AC=

AB

tan∠ACO

=2

3

，
又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°-∠ACO=30°，
∴CD=

AC

cos∠ACD

=

2 3

cos30°

=4．

點評：本題考查了切線的判定與性質、解直角三角形．注意，切線的定義的運用，解題的關鍵是熟記特殊角的銳角三角函數值．