Question

如圖所示，已知：如圖，AB是⊙O的直徑，D是弧BC的中點，DE⊥AC交AC的延長線于E，
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠BAE=60°，⊙O的半徑為5，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD．根據DE⊥AC，要證明OD⊥DE，只需證明OD∥AE，根據等弧所對的圓周角相等以及等邊對等角即可證明一對內錯角相等，從而證明兩條直線平行，得到垂直；
（2）連接BD，構造直角三角形．能夠發現該圖中兩個30度的直角三角形，進行計算．

解答：（1）證明：連接OD；
∵DE⊥AC，
∴∠E=90°．
∵D是

BC

的中點，
∴∠1=∠2．
∵OA=OD，
∴∠3=∠2．
∴∠1=∠3．
∴OD∥AE．
∴∠ODE=180°-∠E=90°．
又∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：連接BD；
∵D是

BC

的中點，∠BAE=60°，
∴∠1=∠2=30°．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴AD=AB×cos∠2=10×cos30°=10×

3

2

=5

3

．
∵∠1=30°，
∴DE=

1

2

AD=

5 3

2

．

點評：掌握證明切線的判定定理：連接圓心和直線與圓的公共點，證明垂直；連接直徑，構造直角三角形，也是圓中常見的輔助線之一．