Question

閱讀下面材料，并解決問題：

（1）如下圖1，等邊△ABC內有一點P若點P到頂點A，B，C的距離分別為3，4，5則∠APB＝______，由于PA，PB不在一個三角形中，為了解決本題我們可以將△ABP繞頂點A旋轉到△ACP′處，此時△ACP′≌_______這樣，就可以利用全等三角形知識，將三條線段的長度轉化到一個三角形中從而求出∠APB的度數.

（2）請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：已知：如圖2，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點且∠EAF＝45°，求證：EF²＝BE²+FC².

 

Answer 1

【答案】

（1）將△ABP繞頂點A旋轉到△ACP′處，

∴△BAP≌△CAP′，

∴AB=AC，AP=AP′，∠BAP=∠CAP′，

∴∠BAC=PAP′=60°，

∴△APP′是等邊三角形，

∴∠APP′=60°，

因為B P P′不一定在一條直線上

連接PC，

∴P′C=PB=4，PP′=PA=3，PC=5，

∴∠PP′C=90°，

∴△PP′C是直角三角形，

∴∠APB=∠AP′C=150°，

∴∠BPA=150°；

故答案是：150°，△ABP；

（2）把△ACF繞點A順時針旋轉90°，得到△ABG．連接EG．

則△ACF≌△ABG．

∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．

∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．

∴∠GAE=∠EAF=45°，

又∵AG=AF，AE=AE．

∴△AEG≌△AFE．

∴EF=EG，

又∵∠GBE=90°，

∴BE²+BG²=EG²，

即BE²+CF²=EF²．

【解析】（1）此類題要充分運用旋轉的性質，以及全等三角形的性質得對應角相等，對應邊相等，得出∠PAP′=60°，再利用等邊三角形的判定得出△APP′為等邊三角形，即可得出∠APP′的度數，即可得出答案；

（2）利用已知首先得出△AEG≌△AFE，即可把EF，BE，FC放到一個直角三角形中，從而根據勾股定理即可證明．