Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC交AD于點(diǎn)F．

（1）猜想ED與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）若AB=6，AD=5，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：ED與⊙O的位置關(guān)系是相切．理由如下：

連接OD，

∵∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，

∴ = ，

∴OD⊥BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

即BC⊥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∴OD⊥DE，

∴ED與⊙O的位置關(guān)系是相切。

（2）解：連接BD．

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ABD中，BD= = = ，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

又∵∠AFC=∠BFD，

∴∠FBD=∠CAD=∠BAD

∴△FBD∽△BAD，

∴ =

∴FD=

∴AF=AD﹣FD=5﹣ = ．

【解析】（1）要證ED與⊙O相切，可知點(diǎn)D在⊙O，由此連接OD，根據(jù)∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，證得弧CD=弧BD，再根據(jù)垂徑定理得出OD⊥BC，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，證得BC⊥AC，然后證明DE∥BC，由DE⊥AC，即可證得結(jié)論。
（2）先在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，再證明△FBD∽△BAD，得出對(duì)應(yīng)邊成比例。求出FD的長(zhǎng)，根據(jù)AF=AD﹣FD，即可得出AF的長(zhǎng)
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了垂徑定理和圓周角定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半才能正確解答此題．