Question

（滿分11分）
如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形，連接BG與DE相交于點H．

（1）證明：△ABG △ADE ；
（2）試猜想BHD的度數，并說明理由；
（3）將圖中正方形ABCD繞點A逆時針旋轉（0°＜BAE ＜180°），設△ABE的面積為，△ADG的面積為，判斷與的大小關系，并給予證明．

Answer 1

略

（1）證法一：
證明：在正方形ABCD和正方形AEFG中
∠GAE=∠BAD=90°              ……1分
∠GAE+∠EAB=∠BAD+EAB 
即∠GAB=∠EAD                  ……2分
又AG="AE " AB="AD"
∴△ABG≌△ADE                   ……4分
證法二：
證明：因為四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，所以∠GAE=∠BAD=90°，AG=AE，AB=AD，所以△EAD可以看成是△GAB逆時針旋轉90°得到，
所以△ABG≌△ADE
（2）證法一：
我猜想∠BHD=90°理由如下：
∵△ABG≌△ADE  ∴∠1=∠2     ……5分
而∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4
∵∠2+∠4="90  " ∠1+∠3=90°   ……6分
∴∠BHD=90°                  ……7分
證法二：
我猜想∠BHD=90°理由如下：
由（1）證法(二)可知△EAD可以看成是△GAB逆時針旋轉90°得到，BG與DE是一組對應邊，
所以BG⊥DE，即∠BHD=90°
（3）證法一：
當正方形ABCD繞點A逆時針旋轉
0°＜∠BAE＜180°時,S1和S2總保持相等．  ……8分
證明如下：由于0°＜∠BAE＜180°因此分三種情況：
①當0°＜∠BAE＜90°時 （如圖10）
過點B作BM⊥直線AE于點M，
過點D作DN⊥直線AG于點N．

∵∠MAN=∠BAD=90°
∴∠MAB=∠NAD
又∠AMB=∠AND=90° AB=AD
∴△AMB≌△AND 
∴BM="DN   " 又AE=AG
∴
∴           ……９分
②當∠BAE=90°時 如圖10（）
∵AE="AG " ∠BAE =∠DAG =90°AB=AD
∴△ABE≌△ADG

∴　　　　 ……１０分
③當90°＜∠BAE＜180°時 如圖10（b）
和①一樣；同理可證
綜上所述，在（3）的條件下，總有． ……11分
證法二：
①當0°＜∠BAE＜90°時，如圖10(c)
作EM⊥AB于點M，作GN⊥AD交DA延長線于點N，

則∠GNA=∠EMA=90°
又∵四邊形ABCD與
四邊形AEFG都是正方形，
∴AG=AE，AB=AD
∴∠GAN+∠EAN=90°，
∠EAM+∠EAN=90°
∴∠GAN=∠EAM
∴△GAN≌△EAM（AAS）∴GN=EM



∴
②③同證法一類似
證法三：
當正方形ABCD繞點A逆時針旋轉0°＜∠BAE＜180°時,S1和S2總保持相等． ……8分       

證明如下：由于0°＜∠BAE＜180°因此分三種情況：
①當0°＜∠BAE＜90°時　如圖10（d）
延長GA至M使AM=AG，連接DM，則有

∵AE=AG=AM，AB=AD
又∠1+∠2=90°
∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
∴△ABE≌△ADM （SAS）
∴
∴　　　　　　　　　　　……９分
②當∠BAE=90°時 （同證法一）　……10分
③當90°＜∠BAE＜180°時如圖10（e）和①一樣；
同理可證
綜上所述，在（3）的條件下，總有  ……11分

證法四：
當0°＜∠BAE＜90°時如圖10（f）延長DA至M使AM=AD，連接GM，

則有
再通過證明
△ABE與△AMG全等從而證出　②③同證法一類似
證法五：
（這種證法用三角函數知識證明，無須分類證明）
如圖10(g)四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，

∴AG=AE，AB=AD
當∠BAE=時，∠GAD=180°-則
sin(180°-)=sin

即
∴