Question

請觀察下列式子：3²-1²=8=8×1；5²-3²=16=8×2；7²-5²=24=8×3；9²-7²=32=8×4；11²-9²=40=8×5；
（1）從以上的過程中，你發現了什么規律？請用文字敘述；
（2）寫出用正整數n表示一般規律的等式，并驗證你所得到的結論．

Answer 1

解：（1）兩個連續奇數的平方差是8的整數倍．
（2n+1）²-（2n-1）²=8n．

（2）∵（2n+1）²-（2n-1）²=4n²+4n+1-4n²+4n-1=8n
∴（2n+1）²-（2n-1）²=8n成立．
分析：從式子的左邊分析，2個連續奇數的平方，大奇數的平方減去小的平方；從等式右邊知道變化數n是自然數，8是不變數．
點評：從變化的數字n中得到通式8n，本題的難點在于等式左邊的式子的歸納即：（2n+1）²-（2n-1）²．