Question

已知：A（m，2）是一次函數y=kx+b與反比例函數（x＞0）的交點．
（1）求m的值；
（2）若該一次曲線的圖象分別與x、y軸交于E、F兩點，且點A恰為E、F的中點，求該直線的解析式；
（3）在（x＞0）的圖象上另取一點B，作BK⊥x軸于K，在（2）的條件下，在線段OF上取一點C，使FO=4CO．試問：在y軸上是否存在點P，使得△PCA和△PBK的面積相等？若存在，求出所有可能的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A的橫縱坐標代入反比例函數的解析式即可求得m的值；
（2）由A點向兩坐標軸作垂線，利用相似三角形的性質求得點E、F的坐標，利用待定系數法求得函數的解析式即可；
（3）設出B的坐標，利用CO和FO的關系求得C點的坐標，再利用兩三角形面積相等得到有關y的關系式求得y的值即可作為P點的縱坐標．
解答：解：（1）∵A（m，2）是一次函數y=kx+b與反比例函數y=的交點
∴2=，
∴m=；

（2）由（1）得A（，2），
∴2=k+b，
   由題意可知：A是線段EF的中點，且E（-，0）F（0，b）則：
   A（，），
∴=2即b=4，
∴k=-，
∴一次函數y=kx+b的解析式為：y=-+4；

（3）由題意知：B、F坐標分別為（k，），（0，4），
    又4CO=FO，
∴C點坐標為（0，1），
設P點坐標為（0，y），則S_△PCA=×|y-1|；
又BK⊥x軸于k，S_△PBK=；
∵S_△PCA=S_△PBK，
∴|y-1|=××k，
∴y=-1或3．
即存在點P且P點坐標為（0，-1）或（0，3）．
點評：本題考查了一次函數的與反比例函數的綜合知識，特別是題目中的存在性問題更是近幾年中考的重點考題．