Question

已知矩形ABCD，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．

（1）如圖①，連接AF、CE，求證四邊形AFCE是菱形；
（2）求AF的長；
（3）如圖②，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周，即點P自停止，點Q自停止，在運動過程中：已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動的時間為t秒，當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．

Answer 1

（1）先證明四邊形AFCE為平行四邊形，再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；根據勾股定理即可求得AF的長；（2）AF=5cm；（3）t=

解析試題分析：（1）先證明四邊形AFCE為平行四邊形，再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；
（2）根據勾股定理即可求得AF的長；
（3）分情況討論可知，當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，根據平行四邊形的性質列出方程求解即可.
（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足為O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四邊形AFCE為平行四邊形，
又∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE為菱形，
（2）設菱形的邊長AF=CF=xcm，則BF=（8-x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
∴AF=5cm；
（3）顯然當P點在AF上時，Q點在CD上，此時A、C、P、Q四點不可能構成平行四邊形；
同理P點在AB上時，Q點在DE或CE上或P在BF，Q在CD時不構成平行四邊形，也不能構成平行四邊形．
因此只有當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，

∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC=QA，
∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，解得t=
∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t=秒.
考點：矩形的性質、菱形的判定與性質、勾股定理、平行四邊形的判定與性質
點評：本題知識點多，綜合性較強，一般是中考壓軸題，要注意分類思想的應用．