【題目】如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，∠BAD是△ABC的一個外角，∠BAC、∠BAD的平分線分別交⊙O于點E、F．請你在圖上連接EF．（1）證明：EF是⊙O的直徑；（2）請你判斷EF與BC有怎樣的位置關系？并請證明你的結論．
【答案】 (1)詳見解析；（2）EF垂直平分BC，證明詳見解析.
【解析】
（1）先利用角平分線定義和平角定義計算出∠EAF=90°，則利用圓周角定理的推論得到EF為⊙O的直徑；
（2）由AE平分∠BAC得∠BAE=∠CAE，根據圓周角定理得
=
，于是根據垂徑定理的推論可得EF垂直平分BC．
（1）連接EF．
∵AF平分∠BAD，AE平分∠BAC，∴∠BAF=
∠BAD，∠BAE=∠BAC，∴∠BAF+∠BAE=（∠BAD+∠BAC）=×180°=90°，即∠EAF=90°，∴EF為⊙O的直徑．
（2）EF垂直平分BC．理由如下：
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴=．
∵EF為⊙O的直徑，∴EF垂直平分BC．
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【題目】如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，若AB=AC+CD.那么∠ACB 與∠ABC有怎樣的數量關系? 小明通過觀察分析，形成了如下解題思路:
如圖2,延長AC到E,使CE=CD,連接DE,由AB=AC+CD,可得AE=AB,又因為AD是∠BAC的平分線，可得△ABD≌△AED,進一步分析就可以得到∠ACB 與∠ABC的數量關系.
(1) 判定△ABD 與△AED 全等的依據是______________(SSS,SAS,ASA,AAS 從其中選擇一個);
(2)∠ACB 與∠ABC的數量關系為:___________________
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【題目】如圖：對稱軸
的拋物線
與
軸相交于
，
兩點，其中點的坐標為
，且點
在拋物線
上．
求拋物線的解析式．
點
為拋物線與
軸的交點．
①點
在拋物線上，且
，求點點坐標．
②設點
是線段
上的動點，作
軸交拋物線于點
，求線段
長度的最大值．
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【題目】如圖所示，小華從一個圓形場地的A點出發，沿著與半徑OA夾角為α的方向行走，走到場地邊緣B后，再沿著與半徑OB夾角為α的方向折向行走．按照這種方式，小華第五次走到場地邊緣時處于弧AB上，則α取值范圍是（ ）
A. 36°
45° B. 45°54° C. 54°72° D. 72°90°
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【題目】閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：
.
（1）上述分解因式的方法是______________法.
（2）分解
的結果應為___________.
（3）分解因式：
.
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【題目】如圖1，在
中，
于E，
，D是AE上的一點，且
，連接BD，CD．
試判斷BD與AC的位置關系和數量關系，并說明理由；
如圖2，若將
繞點E旋轉一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關系和數量關系是否發生變化，并說明理由；
如圖3，若將中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．
試猜想BD與AC的數量關系，請直接寫出結論；
你能求出BD與AC的夾角度數嗎？如果能，請直接寫出夾角度數；如果不能，請說明理由．
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【題目】（問題背景）
如圖1，在四邊形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究線段AC，BC，CD之間的數量關系．
小吳同學探究此問題的思路是：將△BCD繞點D，逆時針旋轉90°到△AED處，點B，C分別落在點A，E處（如圖2），易證點C，A，E在同一條直線上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=
CD，從而得出結論：AC+BC=CD
（簡單應用）
（1）在圖1中，若AC=3， CD=
，則AB= ．
（2）如圖3，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，∠C=45°，若AB=13，BC=12，求CD的長．
（拓展規律）
（3）如圖4，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，CD=n，則BC的長為 ．（用含m，n的代數式表示）
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【題目】在平面直角坐標系
中，二次函數
的圖象與
軸正半軸交于
點．
求證：該二次函數的圖象與
軸必有兩個交點；
設該二次函數的圖象與軸的兩個交點中右側的交點為點
，若
，將直線
向下平移
個單位得到直線
，求直線的解析式；
在的條件下，設
為二次函數圖象上的一個動點，當
時，點
關于軸的對稱點都在直線的下方，求
的取值范圍．
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【題目】如圖，在第一象限內作射線OC，與x軸的夾角為30°，在射線OC上取點A，過點A作AH⊥x軸于點H．在拋物線y=x2(x>0)上取點P，在y軸上取點Q，使得以P、O、Q為頂點，且以點Q為直角頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A的坐標是__________．
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