Question

AB是⊙O的直徑，D是⊙O上一動點，延長AD到C使CD=AD，連接BC，BD．
（1）證明：當D點與A點不重合時，總有AB=BC；
（2）設⊙O的半徑為2，AD=x，BD=y，用含x的式子表示y；
（3）BC與⊙O是否有可能相切？若不可能相切，則說明理由；若能相切，則指出x為何值時相切．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知CD=AD，只要再證明BD⊥AC，就可以證明BD是AC的垂直平分線，則得到AB=BC．
（2）在Rt△ABD中，根據勾股定理，就得到關于AD，BD的關系式，就可以用含x的式子表示y．
（3）當BC與⊙O相切時，BC⊥AB，就可以求出AD的長．
解答：（1）證明：∵AB為⊙O直徑，
∴BD⊥AC，（1分）
又∵DC=AD，
∴BD是AC的垂直平分線，
∴AB=BC；（3分）

（2）解：在Rt△ABD中，BD²=AB²-AD²，（5分）
∴y²=4²-x²，（6分）
∴；（7分）

（3）解：BC與⊙O有可能相切，（8分）
當BC與⊙O相切時，BC⊥AB，
∵AB=BC，
∴∠A=45°，（9分）
∴x=AB=2（10分）．
點評：本題考查了直徑所對的圓周角是直角，并且考查了勾股定理，切線的性質定理，切線垂直于過切點的半徑．