Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點M在BA的延長線上，MD切⊙O于點D，過點B作BN⊥MD于點C，連接AD并延長，交BN于點N．

(1)求證：AB=BN；

(2)若⊙O半徑的長為3，cosB=，求MA的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）MA=4.5

【解析】試題分析：

（1）連接OD，可得OD⊥MD，結合BN⊥MD，可得OD∥BN，由此可得∠N=∠ADO；由OA=OD，可得∠OAD=∠ADO，進一步可得∠N=∠OAD，從而就可得到AB=BN；

（2）由（1）中所得的OD∥BN可得∠MOD=∠B，由此可得cos∠MOD=cosB=，結合OD=OA=3，OM=OA+AM，cos∠MOD=可得，由此即可解得AM的長.

試題解析：

（1）連接OD，

∵MD切⊙O于點D，

∴OD⊥MD，

∵BN⊥MC，

∴OD∥BN，

∴∠ADO=∠N，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∴∠OAD=∠N，

∴AB=BN；

（2）∵OD∥BN，

∴∠MOD=∠B，

∴cos∠MOD=cosB=，

∴在Rt△MOD中，cos∠MOD===，

∵OD=OA，MO=MA+OA=3+MA，

∴ ，解得：AM=4.5.