Question

【題目】如圖，在中，AB為的直徑，C為上一點，P是的中點，過點P作AC的垂線，交AC的延長線于點D．

（1）求證：DP是的切線；

（2）若AC=5，,求AP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AP=．

【解析】

（1）根據題意連接OP，直接利用切線的定理進行分析證明即可；

（2）根據題意連接BC，交于OP于點G，利用三角函數和勾股定理以及矩形的性質進行綜合分析計算即可.

解：（1）證明：連接OP；

∵OP=OA;

∴∠1=∠2；

又∵P為D的中點；

∴

∴∠1=∠3；

∴∠3=∠2；

∴OP∥DA；

∵∠D=90°；

∴∠OPD=90°；

又∵OP為O半徑；

∴DP為O的切線；

（2）連接BC，交于OP于點G；

∵AB是圓O的直徑；

∴∠ACB為直角；

∵

∴sin∠ABC=

AC=5,則AB=13,半徑為

由勾股定理的BC=，那么CG=6

又∵四邊形DCGP為矩形；

∴GP=DC=6.5-2.5=4

∴AD=5+4=9;

在Rt△ADP中，AP=.