Question

如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，BF是△ABC的高，BF、CD相交于點M．
（1）若∠A=80°，∠ABC=50°，求∠BMC的度數．
（2）若其他條件均不變，只把題中的“BF是△ABC的高”改為“BF是△ABC的角平分線”的情況下，請探索∠A與∠BMC的數量關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠A=80°，∠ABC=50°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-80°-50°=50°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB=×50°=25°，
∵BF是△ABC的高，
∴∠CFM=90°，
∴∠BMC=∠ACD+∠CFM=25°+90°=115°；

（2）∠BMC=90°+∠A．
理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵BF、CD是△ABC的角平分線，
∴∠MBC=∠ABC，∠MCB=∠ACB，
∴∠MBC+∠MCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），
在△BMC中，∠BMC=180°-（∠MBC+∠MCB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，
即∠BMC=90°+∠A．
分析：（1）根據三角形的內角和定理求出∠ACB，再根據角平分線的定義求出∠ACD，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解；
（2）根據三角形的內角和定理用∠A表示出∠ABC+∠ACB，再根據角平分線的定義可得∠MBC+∠MCB=（∠ABC+∠ACB），然后在△BMC中，利用三角形的內角和定理列式整理即可得解．
點評：本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，整體思想的利用是解題的關鍵．