Question

（2013•樂山）閱讀下列材料：
如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，點M，N分別在邊AB，DC上，且MN∥AD，記AD=a，BC=b．若

AM

MB

=

m

n

，則有結論：MN=

bm+an

m+n

．
請根據以上結論，解答下列問題：
如圖2，圖3，BE，CF是△ABC的兩條角平分線，過EF上一點P分別作△ABC三邊的垂線段PP₁，PP₂，PP₃，交BC于點P₁，交AB于點P₂，交AC于點P₃．
（1）若點P為線段EF的中點．求證：PP₁=PP₂+PP₃；
（2）若點P為線段EF上的任意位置時，試探究PP₁，PP₂，PP₃的數量關系，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）如答圖1所示，作輔助線，由角平分線性質可知ER=ES，FM=FN；再由中位線性質得到FM=2PP₃，ER=2PP₂；最后，在梯形FMRE中，援引題設結論，列出關系式，化簡得到：PP₁=PP₂+PP₃；
（2）如答圖2所示，作輔助線，由角平分線性質可知ER=ES，FM=FN；再由相似三角形比例線段關系得到：ER=

m+n

m

PP₂；FM=

m+n

n

PP₃；最后，在梯形FMRE中，援引題設結論，列出關系式，化簡得到：PP₁=PP₂+PP₃．

解答：（1）證明：如答圖1所示，
BE為角平分線，過點E作ER⊥BC于點R，ES⊥AB于點S，則有ER=ES；
CF為角平分線，過點F作FM⊥BC于點M，FN⊥AC于點N，則有FM=FN．

點P為中點，由中位線的性質可知：ES=2PP₂，FN=2PP₃．
∴FM=2PP₃，ER=2PP₂．
在梯形FMRE中，FM∥PP₁∥ER，

FP

PE

=

1

1

，
根據題設結論可知：
PP₁=

ER×1+FM×1

1+1

=

ER+FM

2

=

2PP2+2PP3

2

=PP₂+PP₃．
∴PP₁=PP₂+PP₃．

（2）探究結論：PP₁=PP₂+PP₃．
證明：如答圖2所示，
BE為角平分線，過點E作ER⊥BC于點R，ES⊥AB于點S，則有ER=ES；
CF為角平分線，過點F作FM⊥BC于點M，FN⊥AC于點N，則有FM=FN．

點P為EF上任意一點，不妨設

PF

PE

=

m

n

，則

PF

EF

=

m

m+n

，

PE

EF

=

n

m+n

．
∵PP₂∥ES，∴

PP2

ES

=

PF

EF

=

m

m+n

，∴ES=

m+n

m

PP₂；
∵PP₃∥FN，∴

PP3

FN

=

PE

EF

=

n

m+n

，∴FN=

m+n

n

PP₃．
∴ER=

m+n

m

PP₂；FM=

m+n

n

PP₃．
在梯形FMRE中，FM∥PP₁∥ER，

PF

PE

=

m

n

，
根據題設結論可知：
PP₁=

mER+nFM

m+n

=

m• m+n m PP2+n• m+n n PP3

m+n

=

(m+n)PP2+(m+n)PP3

m+n

=PP₂+PP₃．
∴PP₁=PP₂+PP₃．

點評：本題是幾何綜合題，考查了相似三角形的判定與性質、角平分線的性質．本題兩問之間體現了由特殊到一般的數學思想，解題思路類似，并且同學們可仔細領會．