Question

【題目】在中，，是平面內(nèi)不與點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：

如圖1，當(dāng)時(shí)，的值是_________，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是________．

（2）類比探究：

如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)寫出的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并說(shuō)明理由．

（3）解決問(wèn)題：

如圖3，當(dāng)時(shí)，若是的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)在同一條直線上，請(qǐng)直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2），，見(jiàn)解析；（3）的值是或

【解析】

（1）如圖1中，連接PC，BD，延長(zhǎng)BD交PC于K，交AC于G．證明△PAC≌△DAB（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)以及三角形的中位線定理即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2，設(shè)MN交AC于F，延長(zhǎng)MN交PC于E．證明△ACP∽△AMN，推出∠ACP=∠AMN，可得結(jié)論；

（3）分兩種情形分別畫出圖形，利用三角形中位線定理即可解決問(wèn)題．

解：（1），

如圖1，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

，

均是等邊三角形，

，

，

在△PAC和△DAB中，

，

，

，

是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中位線，

，

，

，

，

與相交所成的較小角的度數(shù)是，

，

與相交所成的較小角的度數(shù)是；

（2），直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是，

理由：如圖2，設(shè)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

即直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是；

（3）或

設(shè)，由（2）易知，，

，

是的中位線，，

是線段的中垂線，

，

是的中位線，

，

如圖3-1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，

，

如3-2圖，當(dāng)點(diǎn)在直線上但不在線段上時(shí)，

；

綜上，的值是或.