Question

【題目】已知：在平面直角坐標系xOy中，二次函數y＝ax2＋bx－3(a＞0)的圖象與x軸交于A，B兩點，點A在點B的左側，與y軸交于點C，且OC＝OB＝3OA．

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)設點D是點C關于此拋物線對稱軸的對稱點，直線AD，BC交于點P，試判斷直線AD，BC是否垂直，并證明你的結論；

(3)在(2)的條件下，若點M，N分別是射線PC，PD上的點，問：是否存在這樣的點M，N，使得以點P，M，N為頂點的三角形與△ACP全等?若存在請求出點M，N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2－2x－3； (2)AD⊥BC；(3)存在，M1(1，－2)，N1(4，－3)．或M2(0，－3)，N2(3，－2)．

【解析】試題分析：

（1）由題中條件：二次函數y＝ax2＋bx－3(a＞0)的圖象與x軸交于A，B兩點，點A在點B的左側，與y軸交于點C，且OC＝OB＝3OA，可得點C（0，-3）、點A（-1,0）、點B（3,0），把A、B兩點的坐標代入解析式可求得a、b的值，就可得到解析式了；

（2）把（1）中所求解析式配方化為頂點式，得到對稱軸方程，就可得到D的坐標，再由A、B、C、D四點的坐標列方程組可求得直線AD和直線BC的解析式，計算兩解析式中“k”的值的乘積是否為“-1”就可判斷兩直線是否垂直了；

（3）如圖，由（2）中所得AD、BC的解析式可列方程組解得P的坐標，由射線BC和射線AD互相垂直，垂足為點P，可知△APC和△PMN都是直角三角形；然后分以下兩種情況討論：①當PN=PA，M與C重合時，△APC與△PMN全等；②當PM=PA，N與D重合時，△APC與△PMN全等，并求出相應的點M、N的坐標.

試題解析：

（1）∵二次函數y＝ax2＋bx－3(a＞0)與y軸交于點C，

∴點C的坐標為（0，-3），

∴OC=3，

又∵OC=OB=3OA，

∴OB=3，OA=1，

又∵二次函數y＝ax2＋bx－3(a＞0)的圖象與x軸交于A，B兩點，點A在點B的左側，

∴點A、B的坐標分別為（-1，0）、（3，0），

把A、B的坐標代入解析式y＝ax2＋bx－3(a＞0)得： ，解得： ，

∴二次函數解析式為： ；

（2）由可知，該拋物線的對稱軸為直線； ，

∵點D和點C（0，-3）關于直線對稱，

∴點D的坐標為（2，-3），

設直線AD和直線BC的解析式分別為； ，把A、B、C、D的坐標分別代入相應的解析式得： ， ，

解得： ， ，

∴直線AD的解析式為： ；直線BC的解析式為： ，

∴，

∴直線AD和直線BC是互相垂直的；

（3）存在使△APC和△PMN全等的點M和N，理由如下：

由： 解得 ，

∴點P的坐標為（1，-2），

如上圖：∵射線BC和射線AD互相垂直，垂足為點P，

∴△APC與△PMN都是直角三角形，

∴在下列兩種情況下兩個三角形全等；

①當M與C重合，PN=PA時，兩三角形全等，此時M坐標為（0，-3），由線段中點坐標公式可得N的坐標為（3，-4）；

②當N與D重合，PM=PA時，兩個三角形全等，此時N的坐標為（2，-3），由兩點間距離公式可求得M的坐標為（-1，-4）；

綜合①②可知當點M、N的坐標為：

或時，△APC與△PMN全等.