Question

（1）教材在探索平方差公式時利用了面積法，面積法除了可以幫助我們記憶公式，還可以直觀地推導或驗證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c²，也可以表示為4×

1

2

ab+(a-b)2由此推導出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a²+b²=c²．圖②為美國第二十任總統伽菲爾德的“總統證法”，請你利用圖②推導勾股定理．

（2）試用勾股定理解決以下問題：
如果直角三角形ABC的兩直角邊長為3和4，則斜邊上的高為

12

5

（3）試構造一個圖形，使它的面積能夠解釋（a-2b）²=a²-4ab+4b²，畫在下面的網格中，并標出字母a、b所表示的線段．

Answer 1

分析：（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也利用三個直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關系式，化簡即可得證；
（2）由兩直角邊，利用勾股定理求出斜邊長，再利用面積法即可求出斜邊上的高；
（3）已知圖形面積的表達式，即可根據表達式得出圖形的邊長的表達式，即可畫出圖形．

解答：解：（1）梯形ABCD的面積為

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

a²+ab+

1

2

b²，
也利用表示為

1

2

ab+

1

2

c²+

1

2

ab，
∴

1

2

a²+ab+

1

2

b²=

1

2

ab+

1

2

c²+

1

2

ab，即a²+b²=c²；

（2）∵直角三角形的兩直角邊分別為3，4，
∴斜邊為5，
∵設斜邊上的高為h，直角三角形的面積為

1

2

×3×4=

1

2

×5×h，
∴h=

12

5

；

（3）∵圖形面積為：（a-2b）²=a²-4ab+4b²，
∴邊長為a-2b，
由此可畫出的圖形為：

故答案為：（2）

12

5

．

點評：此題考查了勾股定理的證明，勾股定理，多項式的乘法的運用以及由多項式畫圖形的創新題型，此類證明要轉化成同一個東西的兩種表示方法，從而轉化成方程達到證明的結果．