Question

【題目】如圖，在中，，于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，連接．

（1）求證：

（2）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)），設(shè)射線與相交于點(diǎn)，連接，試探究線段與之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）EF=2HG

【解析】分析：（1）先判斷出AH=BH,再判斷出△BHD≌△AHC即可求解.（2）方法一、先判斷出△AGQ∽△CHQ,得到,然后判斷出△AQC∽△GQH，用相似比即可；方法二、取EF的中點(diǎn)K，連接GK，HK，先證明GK=HK=EF,再證明△GKH是等邊三角形即可.

詳解：（1）在Rt△AHB中，∠ABC=45°，

∴AH=BH，

在△BHD和△AHC中，

，

∴△BHD≌△AHC，

∴

（2）方法1:如圖1，

∵△EHF是由△BHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到，

∴HD=HF，∠AHF=30°

∴∠CHF=90°+30°=120°，

由(1)有，△AEH和△FHC都為等腰三角形，

∴∠GAH=∠HCG=30°，

∴CG⊥AE，

∴點(diǎn)C，H，G，A四點(diǎn)共圓，

∴∠CGH=∠CAH，

設(shè)CG與AH交于點(diǎn)Q，

∵∠AQC=∠GQH，

∴△AQC∽△GQH，

∴，

∵△EHF是由△BHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到，

∴EF=BD，

由（1）知，BD=AC，

∴EF=AC

∴

即：EF=2HG．

方法2:如圖2，取EF的中點(diǎn)K，連接GK，HK，

∵△EHF是由△BHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到，

∴HD=HF，∠AHF=30°

∴∠CHF=90°+30°=120°，

由(1)有，△AEH和△FHC都為等腰三角形，

∴∠GAH=∠HCG=30°，

∴CG⊥AE，

由旋轉(zhuǎn)知，∠EHF=90°，

∴EK=HK=EF

∴EK=GK=EF，

∴HK=GK，

∵EK=HK，

∴∠FKG=2∠AEF，

∵EK=GK，

∴∠HKF=2∠HEF，

由旋轉(zhuǎn)知，∠AHF=30°，

∴∠AHE=120°，

由（1）知，BH=AH，

∵BH=EH，

∴AH=EH，

∴∠AEH=30°，

∴∠HKG=∠FKG+∠HKF=2∠AEF+2∠HEF=2∠AEH=60°，

∴△HKG是等邊三角形，

∴GH=GK，

∴EF=2GK=2GH，

即：EF=2GH．