Question

（2012•十堰）閱讀材料：
例：說明代數式

x2+1

+

(x-3)2+4

的幾何意義，并求它的最小值．
解：

x2+1

+

(x-3)2+4

=

(x-0)2+12

+

(x-3)2+22

，如圖，建立平面直角坐標系，點P（x，0）是x軸上一點，則

(x-0)2+12

可以看成點P與點A（0，1）的距離，

(x-3)2+22

可以看成點P與點B（3，2）的距離，所以原代數式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
設點A關于x軸的對稱點為A′，則PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，所以PA′+PB的最小值為線段A′B的長度．為此，構造直角三角形A′CB，因為A′C=3，CB=3，所以A′B=3

2

，即原式的最小值為3

2

．
根據以上閱讀材料，解答下列問題：
（1）代數式

(x-1)2+1

+

(x-2)2+9

的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（1，1）、點B

（2，3）

的距離之和．（填寫點B的坐標）
（2）代數式

x2+49

+

x2-12x+37

的最小值為

10

．

Answer 1

分析：（1）先把原式化為

(x-1)2+12

+

(x-2)2+32

的形式，再根據題中所給的例子即可得出結論；
（2）先把原式化為

(x-0)2+72

+

(x-6)2+1

的形式，故得出所求代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，7）、點B（6，1）的距離之和，再根據在坐標系內描出各點，利用勾股定理得出結論即可．

解答：解：（1）∵原式化為

(x-1)2+12

+

(x-2)2+32

的形式，
∴代數式

(x-1)2+1

+

(x-2)2+9

的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（1，1）、點B（2，3）的距離之和，
故答案為（2，3）；

（2）∵原式化為

(x-0)2+72

+

(x-6)2+1

的形式，
∴所求代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，7）、點B（6，1）的距離之和，
如圖所示：設點A關于x軸的對稱點為A′，則PA=PA′，
∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，
∴PA′+PB的最小值為線段A′B的長度，
∵A（0，7），B（6，1）
∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，
∴A′B=

A′C2+BC2

=

62+82

=10，
故答案為：10．

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，解答此題的關鍵是根據題中所給給的材料畫出圖形，再利用數形結合求解．