Question

現(xiàn)有一形如直角三角板的三角形ABC（如圖1），其中∠C=90°，∠A=45°，該三角形內(nèi)有一個(gè)半徑為1cm的⊙O，圓心O到三邊的距離均為

2

cm．將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α （0°＜α≤90°），旋轉(zhuǎn)后的三角形記為△EFC，⊙O記為⊙P．
（1）當(dāng)α=45°時(shí)（如圖2），試判斷EF與CB的位置關(guān)系并說明理由；
（2）當(dāng)⊙P與⊙O相外切時(shí)（如圖3），①求旋轉(zhuǎn)角α；②求⊙P掃過的面積；
（3）當(dāng)CF與⊙O相切時(shí)，則sinα=

6 + 2

4

或

6 - 2

4

（直接寫出答案，結(jié)果保留根號(hào)）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的銳角是45°，旋轉(zhuǎn)角是45°，即可得到∠F=∠FCB，從而判斷EF∥BC；
（2）①根據(jù)兩圓外切的性質(zhì)：圓心距等于半徑的和，即可求得OP的長，求得OC的長，則△OPC的形狀即可判斷，從而求得旋轉(zhuǎn)角；
②根據(jù)⊙P掃過的面積S=S_扇形CIJ-S_扇形CGH+S_⊙O，利用扇形的計(jì)算公式和圓的面積公式即可求解；
（3）首先求得旋轉(zhuǎn)角，即可得到．

解答：解：（1）EF∥CB．
理由：∵當(dāng)α=45⁰時(shí)，∠F=∠FCB，
∴EF∥CB；                         

（2）連接CO、CP，作OM⊥BC于M．
在直角△OCM中，OM=

2

，∠OCM=45°，
則OC=2，則OC=CP=2，
①∵當(dāng)⊙P與⊙O相外切時(shí)，OP=2cm，
∴CO=CP=OP
∴∠PCO=60°
∴旋轉(zhuǎn)α=60°
②S_扇形CIJ-S_扇形CGH=

60

360

•π•32-

60

360

•π•12=

4

3

π
則S=S_扇形CIJ-S_扇形CGH+S_⊙O=

4

3

π+π=

7

3

π；

（3）當(dāng)如圖（1）時(shí)，作PN⊥AC，
則在直角△PNC中，
∵PN=1，CP=2，
∴∠PCN=30°，
∵∠ACO=45°，
∴∠PCO=75°，即α=75°
則sinα=sin75°=

6 + 2

4

；
當(dāng)如圖（2）時(shí)，連接OC、PC，設(shè)⊙P與AC切于點(diǎn)Q，連接PQ．
則∠ACP=30°，∠ACO=45°，
因而旋轉(zhuǎn)角α=∠ACO-∠ACP=15°，
則sinα=sin15°=

6 - 2

4

．
故答案是：

6 + 2

4

或

6 - 2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了扇形的面積公式，切線的性質(zhì)，以及三角函數(shù)，正確作出（3）中的兩種情況的圖形，求得旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是關(guān)鍵．