Question

如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，E是CD的中點，過點C作AB的平行線交AE的延長線于F，連結BF.

(1)求證：CF=BD；
(2)若CA=CB，∠ACB=90°，試判斷四邊形CDBF的形狀，并證明你的結論.

Answer 1

（1）詳見解析 ;（2）四邊形CDBF是正方形，證明詳見解析.

試題分析：(1)首先證明△ADE≌△FCE,根據全等三角形的性質得：AD=CF,又AD=BD,所以CF=BD.(2)由（1）知AD=CF,從而得到：CF與DB平行且相等.再根據平行四邊形的判定定理得四邊形CDBF是平行四邊形，再根據等腰三角形“三線合一”的性質，可得：CD=BD,∠CDB=90°,根據“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”可知CDBF是菱形，再根據“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”可知四邊形CDBF是矩形，所以它是正方形.
試題解析：(1)∵AB∥CF
∴∠EAD=∠EFC, ∠ADE=∠FCE,
∵DE=CE
∴△ADE≌FCE
∴AD=CF
∵AD=BD
∴BD=CF
(2)由（1）知BD=CF
又∵BD∥CF
∴四邊形CDBF是平行四邊形
∵CA=CB,AD=BD
∴∠CDB=90°,CD=BD=AD
∴四邊形CDBF是正方形.