Question

已知拋物線y=mx²-（m-5）x-5（m＞0）與x軸交于兩點A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），與y軸交于點C，且AB=6．
（1）求拋物線和直線BC的解析式；
（2）在給定的直角坐標系中，畫出拋物線和直線BC；
（3）若⊙P過A、B、C三點，求⊙P的半徑；
（4）拋物線上是否存在點M，過點M作MN⊥x軸于點N，使△MBN被直線BC分成面積比為1：3的兩部分？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由題意得：x₁+x₂=

m-5

m

，x₁•x₂=

-5

m

，x₂-x₁=6
則（x₁+x₂）²-4x₁x₂=36，（

m-5

m

）²+

20

m

=36
解得：m₁=1，m₂=-

5

7

．
經檢驗m=1，
∴拋物線的解析式為：y=x²+4x-5
或：由mx²-（m-5）x-5=0得，x=1或x=-

5

m

∵m＞0，
∴1-

-5

m

=6，
∴m=1．
∴拋物線的解析式為y=x²+4x-5
由x²+4x-5=0得x₁=-5，x₂=1
∴A（-5，0），B（1，0），C（0，-5）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，
則

b=-5 k+b=0

∴

b=-5 k=5

∴直線BC的解析式為y=5x-5；

（2）如圖1；

（3）如圖2，由題意，圓心P在AB的中垂線上，即在拋物線y=x²+4x-5的對稱軸直線x=-2上，
設P（-2，-h）（h＞0），（6分）
連接PB、PC，則PB²=（1+2）²+h²，PC²=（5-h）²+2²，
由PB²=PC²，
即（1+2）²+h²=（5-h）²+2²，解得h=2．
∴P（-2，-2），
∴⊙P的半徑PB=

(1+2)2+22

=

13

；

（4）如圖3，設MN交直線BC于點E，點M的坐標為（t，t²+4t-5），則點E的坐標為（t，5t-5）．
若S_△MEB：S_△ENB=1：3，則ME：EN=1：3．
∴EN：MN=3：4，
∴t²+4t-5=

4

3

（5t-5）．
解得t₁=1（不合題意舍去），t₂=

5

3

，
∴M（

5

3

，

40

9

）．
若S_△MEB：S_△ENB=3：1，則ME：EN=3：1．
∴EN：MN=1：4，
∴t²+4t-5=4（5t-5）．
解得t₃=1（不合題意舍去），t₄=15，
∴M（15，280）．
∴存在點M，點M的坐標為（

5

3

，

40

9

）或（15，280）．