Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦EF⊥AB于點C，過點F作⊙O的切線交AB的延長線于點D．

（1）已知∠A＝α，求∠D的大小（用含α的式子表示）；

（2）取BE的中點M，連接MF，請補全圖形；若∠A＝30°，MF＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）∠D＝90°﹣2α；（2）⊙O的半徑為2．

【解析】

（1）連接OE，OF，如圖，利用等腰三角形的性質得到∠DOF＝∠DOE．而∠DOE＝2∠A，所以∠DOF＝2α，再根據切線的性質得∠OFD＝90°．從而得到∠D＝90°﹣2α；

（2）連接OM，如圖，利用圓周角定理得到∠AEB＝90°．再證明OM∥AE得到∠MOB＝∠A＝30°．而∠DOF＝2∠A＝60°，所以∠MOF＝90°，設⊙O的半徑為r，利用含30度的直角三角形三邊的關系得OM＝BM＝r，然后根據勾股定理得到即（r）2+r2＝（）2，再解方程即可得到⊙O的半徑．

解：（1）連接OE，OF，如圖，

∵EF⊥AB，AB是⊙O的直徑，

∴∠DOF＝∠DOE．

∵∠DOE＝2∠A，∠A＝α，

∴∠DOF＝2α，

∵FD為⊙O的切線，

∴OF⊥FD．

∴∠OFD＝90°．

∴∠D+∠DOF＝90°，

∴∠D＝90°﹣2α；

（2）連接OM，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，

∴O為AB中點，∠AEB＝90°．

∵M為BE的中點，

∴OM∥AE，

∵∠A＝30°，

∴∠MOB＝∠A＝30°．

∵∠DOF＝2∠A＝60°，

∴∠MOF＝90°，

設⊙O的半徑為r，

在Rt△OMB中，BM＝OB＝r，

OM＝BM＝r，

在Rt△OMF中，OM2+OF2＝MF2．

即（r）2+r2＝（）2，解得r＝2，

即⊙O的半徑為2．