Question

【題目】在正方形ABCD中，過點A引射線AH，交邊CD于點H(點H與點D不重合)．通過翻折，使點B落在射線AH上的點G處，折痕AE交BC于E，延長EG交CD于F．

（感知）（1）如圖①，當點H與點C重合時，猜想FG與FD的數量關系，并說明理由．

（探究）（2）如圖②，當點H為邊CD上任意一點時，（1）中結論是否仍然成立？請說明理由．

（應用）（3）在圖②中，當DF=3，CE=5時，直接利用探究的結論，求AB的長．

Answer 1

【答案】[感知] FG=FD，理由見解析；

[探究]成立，理由見解析；

[應用] .

【解析】

[感知]運用折疊的性質可證明△AGF≌△ADF，從而得到FG=FD；

[探究] 運用折疊的性質可證明△AGF≌△ADF，從而得到FG=FD；

[應用] 由[探究]中的結論，可設AB=x，則FC=x-3，FE=x，然后在Rt△ECF中，根據勾股定理求解即可.

[感知]猜想：FG=FD.

證明：如圖所示：

連接AF，

由折疊的性質可得AB=AG=AD，

在Rt△AGF和Rt△ADF中，

,

∴△AGF≌△ADF，

故可得FG=FD；

[探究] 當點H為邊CD上任意一點時，（1）中結論仍然成立.

證明：如圖所示：

連接AF，

由折疊的性質可得AB=AG=AD，

在Rt△AGF和Rt△ADF中，

,

∴△AGF≌△ADF．

∴FG=FD，

故當點H為邊CD上任意一點時，（1）中的結論仍然成立；

[應用]設AB=x，則FC=x-3，FE=x，

在Rt△ECF中，EF2=FC2+EC2，即x2=（x-3）2+52，

解得x=．

即AB的長為．