Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，以AC為底邊作等腰三角形△ABC，AD=CD=10，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點E，連接CE．
（1）求證：AE=CE=BE；
（2）若AB=15cm，BC=9cm，P是射線DE上的一點．則當DP為何值時，△PBC的周長最小，并求出此時△PBC的周長．

Answer 1

分析：（1）根據題意得出∠AFE=∠ACE=90°可得出EF∥BC，再由點F是AC的中點可得出點E是斜邊AB的中點，繼而利用直角三角形的斜邊中線的性質可得出所證得結論．
（2）根據軸對稱求最短路徑的知識可得，點C關于DE的對稱點和點B的連線與DE的交點即是點P的位置，結合圖形及（1）可得點P的位置即是點E的位置，從而可求出此時△PBC的周長．

解答：（1）證明：∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴EF∥BC，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴點F是AC的中點（等腰三角形的三線合一的性質），
∴EF是△ABC的中位線，即可得點E是斜邊AB的中點，
∴在RT△ABC中可得，AE=CE=BE；

（2）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=15cm，BC=9cm，
∴AC=

AB2-BC2

=

152-92

=12，
∵AD=CD=10cm，DE⊥AC，
∴F是AC的中點，
∴EF=

1

2

BC=

1

2

×9=4.5，AF=

1

2

AC=

1

2

×12=6，
∴DF=

AD2-AF2

=

102-62

=8，
∴DE=DF+EF=8+4.5=12.5cm，
根據軸對稱求最短路徑的知識，可得當點P與點E重合的時候PB+PC最小，也即△PBC的周長最小，
此時PB=PC=

1

2

AB=

15

2

，即DP=DE=12.5cm時，△PBC的周長最小，
∴△PBC的最小周長=PB+PC+BC=15+9=24cm．

點評：本題考查利用軸對稱求最短路徑的知識，與實際結合得比較緊密，有一定的綜合性，解答本題（2）的關鍵是利用軸對稱的性質確定點P的位置．