Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，P是對角線AC上任意一點，E為AD上的點，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．

（1）求證：四邊形PMAN是正方形；

（2）求證：EM=BN；

（3）若點P在線段AC上移動，其他不變，設PC=x，AE=y，求y關于x的解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）y=1-（0≤x≤）.

【解析】

（1）由四邊形ABCD是正方形，易得∠BAD=90°，AC平分∠BAD，又由PM⊥AD，PN⊥AB，即可證得四邊形PMAN是正方形；
（2）由四邊形PMAN是正方形，易證得△EPM≌△BPN，即可證得：EM=BN；
（3）首先過P作PF⊥BC于F，易得△PCF是等腰直角三角形，繼而證得△APM是等腰直角三角形，可得AP=AM=（AE+EM），繼而求得答案．

（1）.∵正方形ABCD，

∴∠NAM=90.

又因為PM⊥AD,PN⊥AB，

∴∠ANP=∠AMP=90，

∴四邊形PMAN是矩形（有三個角是直角）.

∵P在AC上，

∴PM=PN（角平分線上的點到這條線段兩邊的距離相等），

∴四邊形PMAN是正方形；

（2）.∵∠EPB=90，

∴∠BPN+∠APN=90.

∵∠EPM=∠APN=90，

∴∠BPN=∠EPM，

在△BPN與△EPM中

∠BPN=∠EPM，PN=PM，∠BNP=∠EMP，

∴△BPN≌△EPM，

∴BN=EM；

（3）過P作PF⊥BC于F，如圖所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，AB=BC=1，∠PCF=45°，

∴AC=，△PCF是等腰直角三角形，

∴AP=AC-PC=-x，BN=PF=，

∴EM=BN=，

∵∠PAM=45°，∠PMA=90°，

∴△APM是等腰直角三角形，

∴AP=AM=（AE+EM），

即-x=（y+），

解得：y=1-x，

∴x的取值范圍為0≤x≤，

∴y=1-x（0≤x≤）．