Question

已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD²+CD²=2AB²．
（1）求證：AB=BC；
（2）當BE⊥AD于E時，試證明：BE=AE+CD．

Answer 1

分析：（1）根據勾股定理AB²+BC²=AC²，得出AB²+BC²=2AB²，進而得出AB=BC；
（2）首先證明CDEF是矩形，再根據△BAE≌△CBF，得出AE=BF，進而證明結論．

解答：證明：（1）連接AC．
∵∠ABC=90°，
∴AB²+BC²=AC²．
∵CD⊥AD，
∴AD²+CD²=AC²．
∵AD²+CD²=2AB²，
∴AB²+BC²=2AB²，
∴BC²=AB²，
∵AB＞0，BC＞0，
∴AB=BC．

（2）過C作CF⊥BE于F．
∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，
∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，
∴四邊形CDEF是矩形．
∴CD=EF．
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴在△BAE與△CBF中
∴

∠AEB=∠BFC ∠BAE=∠CBF AB=BC

，
∴△BAE≌△CBF．（AAS）
∴AE=BF．
∴BE=BF+EF=AE+CD．

點評：此題主要考查了勾股定理的應用以及三角形的全等證明，根據已知得出四邊形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是解決問題的關鍵．