Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，∠CDB=15°，OE=2 ．
（1）求⊙O的半徑；
（2）將△OBD繞O點旋轉，使弦BD的一個端點與弦AC的一個端點重合，則弦BD與弦AC的夾角為 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，

∴弧BC=弧BD，

∴∠BDC= ∠BOD，

而∠CDB=15°，

∴∠BOD=2×15°=30°，

在Rt△ODE中，∠DOE=30°，OE=2 ，

∴OE= DE，OD=2DE，

∴DE= =2，

∴OD=4，

即⊙O的半徑為4

（2）60°或90°
【解析】解： （2）有4種情況：如圖：
①如圖1所示：∵OA=OB，∠AOB=30°，
∴∠OAB=∠OBA=75°，
∵CD⊥AB，AB是直徑，
∴弧BC=弧BD，
∴∠CAB= ∠BOD=15°，
∴∠CAB=∠BAO+∠CAB=15°+75°=90°；
②如圖2所示，∠CAD=75°﹣15°=60°；
③如圖3所示：∠ACB=90°；
④如圖4所示：∠ACB=60°；
所以答案是：60°或90°．
【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念和垂徑定理，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧即可以解答此題．