Question

某學校要在圍墻旁建一個長方形的中藥材種植實習苗圃，苗圃的一邊靠圍墻（墻的長度不限），另三邊用木欄圍成，建成的苗圃為如圖所示的長方形ABCD．已知木欄總長為120米，設AB邊的長為x米，長方形ABCD的面積為S平方米．
（1）求S與x之間的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）．當x為何值時，S取得最值（請指出是最大值還是最小值）？并求出這個最值；
（2）學校計劃將苗圃內藥材種植區(qū)域設計為如圖所示的兩個相外切的等圓，其圓心分別為O₁和O₂，且O₁到AB、BC、AD的距離與O₂到CD、BC、AD的距離都相等，并要求在苗圃內藥材種植區(qū)域外四周至少要留夠0.5米寬的平直路面，以方便同學們參觀學習．當（l）中S取得最值時，請問這個設計是否可行？若可行，求出圓的半徑；若不可行，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）表示出BC的長120-2x，由矩形的面積公式得出答案；
（2）設出圓的半徑和藥材種植區(qū)外四中平面路面的寬，利用題目中的等量關系列出二元一次方程組，求得半徑和路面寬，當路面寬滿足題目要求時，方案可行，否則不行．

解答：解：（1）∵AB=x，∴BC=120-2x，
∴S=x（120-2x）=-2x²+120x；
當x=

120

2×2

=30時，S有最大值為

0-1202

4×(-2)

=1800；

（2）設圓的半徑為r米，路面寬為a米，
根據(jù)題意得：

4r+2a=60 2r+2a=30

解得：

r=15 a=0

∵路面寬至少要留夠0.5米寬，
∴這個設計不可行．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應用，題目中還涉及到了二元一次方程組及方案設計的相關知識，是一道難度適中的綜合題．