Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于A（﹣1，0）和B（5，0）兩點，交y軸于點C，點D是線段OB上一動點，連接CD，將線段CD繞點D順時針旋轉90°得到線段DE，過點E作直線l⊥x軸于H，過點C作CF⊥l于F．

（1）求拋物線解析式；

（2）如圖2，當點F恰好在拋物線上時，求線段OD的長；

（3）在（2）的條件下：

①連接DF，求tan∠FDE的值；

②試探究在直線l上，是否存在點G，使∠EDG=45°？若存在，請直接寫出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1；（3）①；②G（4，）或（4，6）．

【解析】

（1）把A、B的坐標代入拋物線的解析式，解方程組即可；

（2）由C的縱坐標求得F的坐標，由△OCD≌△HDE，得出DH=OC=3，即可求得OD的長；

（3）①先確定C、D、E、F四點共圓，由圓周角定理求得∠ECF=∠EDF，由tan∠ECF==，得到tan∠FDE=；

②連接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，∠CED=45°，過D點作DG1∥CE，交直線l于G1，過D點作DG2⊥CE，交直線l于G2，則∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，求得直線CE的解析式為，設直線DG1的解析式為，設直線DG2的解析式為，把D的坐標代入即可求得m、n，從而求得解析式，進而求得G的坐標．

（1）如圖1，∵拋物線交x軸于A（﹣1，0）和B（5，0）兩點，∴，解得：，∴拋物線解析式為；

（2）如圖2，∵點F恰好在拋物線上，C（0，3），∴F的縱坐標為3，把y=3代入得，，解得x=0或x=4，∴F（4，3），∴OH=4，∵∠CDE=90°，∴∠ODC+∠EDH=90°，∴∠OCD=∠EDH，在△OCD和△HDE中，∵∠OCD=∠EDH，∠COD=∠DHE=90°，CD=DE，∴△OCD≌△HDE（AAS），∴DH=OC=3，∴OD=4﹣3=1；

（3）①如圖3，連接CE，∵△OCD≌△HDE，∴HE=OD=1，∵BF=OC=3，∴EF=3﹣1=2，∵∠CDE=∠CFE=90°，∴C、D、E、F四點共圓，∴∠ECF=∠EDF，在RT△CEF中，∵CF=OH=4，∴tan∠ECF==，∴tan∠FDE=；

②如圖4，連接CE，∵CD=DE，∠CDE=90°，∴∠CED=45°，過D點作DG1∥CE，交直線l于G1，過D點作DG2⊥CE，交直線l于G2，則∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，∵EH=1，OH=4，∴E（4，1），∵C（0，3），∴直線CE的解析式為，設直線DG1的解析式為，∵D（1，0），∴，解得m=，∴直線DG1的解析式為，當x=4時，=，∴G1（4，）；

設直線DG2的解析式為，∵D（1，0），∴0=2×1+n，解得n=﹣2，∴直線DG2的解析式為，當x=4時，y=2×4﹣2=6，∴G2（4，6）；

綜上，在直線l上，是否存在點G，使∠EDG=45°，點G的坐標為（4，）或（4，6）．