Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，對角線AC上有一點P，連接BP、DP，過點P作PE⊥PB交CD于點E，連接BE．

（1）求證：BP=EP；
（2）若CE=3，BE=6，求∠CPE的度數；
（3）探究AP、PC、BE之間的數量關系，并給予證明．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ 四邊形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，AC平分∠BCD， 即 ∠BCP＝∠DCP，
又CP是公共邊 所以△CBP≌△CDP
∴ BP＝DP, ∠PBC＝∠PDC
∵ ∠BPE－∠BCE＝90°，∠BPE+∠BCE+∠PBC+∠PEC＝360°
∴∠PBC+∠PEC＝90°
∵ ∠PED+∠PEC＝90°
∴∠PED＝∠PBC∴∠PED＝∠PDC∴EP＝DP,
∴ BP＝DP
（2）解：取BE的中點F，連CF，

則CE＝CF－EF＝3,
∴△CEF是等邊三角形，則∠BEC＝60°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠EBC+∠BEC＝90°,
∴∠EBC ＝30°,
∵∠EBC+∠BCP＝∠PEB+∠EPC,
∠PEB＝∠BCP＝45°∴∠EBC ＝∠EPC＝30°﹒
（3）解：過點P作PC⊥AC，交CD的延長線于C,

得△BPC≌△EPC, CP＝CP,BC＝EC,
∵AB＝BC，
∴AB＝EC∵AB∥EC
∴四邊形ABEC/為平行四邊形，
∴AC＝BE,
∵在Rt△APC中，CA2＝AP2+CP2
∴BE2＝AP2+PC2﹒
【解析】 （1）根據正方形的性質得出CB＝CD，∠BCP＝∠DCP，就可證明△CBP≌△CDP，得出BP＝DP, ∠PBC＝∠PDC，再證明∠PED＝∠PBC，從而得到∠PED＝∠PDC，根據等角對等邊得出EP＝DP,即可證得結論。
（2）根據已知BE=2CE及Rt△BCE，因此取BE的中點F，連CF，根據已知及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出CE＝CF=EF，就可證得△CEF是等邊三角形，得出∠BEC＝60°，就可求出∠EBC ＝30°,再證明∠PEB＝∠BCP＝45°，根據三角形內角和定理可求出∠CPE的度數。
（3）過點P作PC⊥AC，交CD的延長線于C，易證△BPC≌△EPC，得出 CP＝CP,BC＝EC,再證明四邊形ABEC/為平行四邊形，得出AC＝BE，然后根據勾股定理即可得出結論。