Question

【題目】如圖1，若拋物線L1的頂點A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點B也在拋物線L1上（點A與點B不重合）我們把這樣的兩拋物線L1、L2互稱為“友好”拋物線，可見一條拋物線的“友好”拋物線可以有很多條．

（1）如圖2，已知拋物線L3：y=2x2-8x+4與y軸交于點C，試求出點C關于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D的坐標；

（2）請求出以點D為頂點的L3的“友好”拋物線L4的解析式，并指出L3與L4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍；

（3）若拋物y=a1（x-m）2+n的任意一條“友好”拋物線的解析式為y=a2（x-h）2+k，請寫出a1與a2的關系式，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（4，4）；（2）2≤x≤4；（3）a1=-a2，理由如下：見解析

【解析】

（1）設x＝0，求出y的值，即可得到C的坐標，把拋物線L3：y＝2x28x＋4配方即可得到拋物線的對稱軸，由此可求出點C關于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D的坐標；

（2）由（1）可知點D的坐標為（4，4），再由條件以點D為頂點的L3的“友好”拋物線L4的解析式，可求出L4的解析式，進而可求出L3與L4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍；

（3）根據：拋物線L1的頂點A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點B也在拋物線L1上，可以列出兩個方程，相加可得：（a1＋a2）（mh）2＝0，可得a1＝a2.

解：（1）∵拋物線L3：y=2x2-8x+4，

∴y=2（x-2）2-4，

∴頂點為（2，4），對稱軸為x=2，

設x=0，則y=4，

∴C（0，4），

∴點C關于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D的坐標為：（4，4）；

（2）∵以點D（4，4）為頂點的拋物線L4過點（2，-4），

設L4的解析式，

將點（2，-4）代入L4可得，a=-2，

∴L4的解析式為y=-2（x-4）2+4，

L3與L4的兩個交點分別為（4，4）和（2，-4）

∴L3與L4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍是：2≤x≤4時；

（3）a1=-a2，

理由如下：

∵拋物線L1的頂點A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點B也在拋物線L1上，

∴可以列出兩個方程，

①+②得：（a1+a2）（m-h）2=0，

∴a1=-a2．